Question

如图，点P是等边△ABC內任意一点，连接PA，PB，PC，过点C作CM，使CM=CP，∠BCM=∠ACP，连接BM．
（1）求证：△APC≌△BMC；
（2）若点P在∠ACB的平分线上，则由线段PA，PB，PC构成的三角形是什么三角形？请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形性质可得AC=BC，即可证明△APC≌△BMC；
（2）根据（1）结论可得AP=BM，易证△PCM为等边三角形，根据垂直平分线性质可得BP=BM，由线段PA，PB，PC构成的三角形是等腰三角形．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边△，
∴AC=BC，
在△APC和△BMC中，

AC=BC ∠BCM=∠ACP CM=CP

，
∴△APC≌△BMC；（SAS）
（2）∵△APC≌△BMC，
∴AP=BM，
∵∠BCM=∠ACP，PC平分∠ACB，
∴∠PCM=60°，
∴△PCM是等边三角形，且BC是∠PCM平分线，
∴BC是PM垂直平分线，
∴PB=BM，
∴由线段PA，PB，PC构成的三角形是等腰三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△APC≌△BMC是解题的关键．