Question

【题目】已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于点A(﹣3，0)，B(1，0)交于点C，抛物线的顶点为点D．

（1）抛物线的表达式及顶点D的坐标．

（2）若点F是线段AD上一个动点，

①如图1，当FC+FO的值最小时，求点F的坐标；

②如图2，以点A，F，O为顶点的三角形能否与△ABC相似？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，(﹣1，4)；（2）①F(﹣，3)，②能，(﹣，)或(﹣2，2)

【解析】

（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，即可求解；再将抛物线解析式化为顶点式即可得出点D的坐标；

（2）①点D的坐标为：（﹣1，4），点A（﹣3，0），点C（0，3），作点O关于直线AD的对称轴R，连接CR交AD于点F，则点F为所求点，即可求解；

②当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，OF∥BC，直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，直线OF的解析式为y＝﹣3x，直线AD的解析式为y＝2x+6，联立直线OF、AD的表达式并解得：x＝﹣，故点F（﹣，）；当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，∠CAB＝45°，OF⊥AC，直线OF的解析式为y＝﹣x，将上式与y＝2x+6联立并解得：x＝﹣2，即可求解．

解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），

故﹣3a＝3，

解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；

点D的坐标为（﹣1，4）

（2）①点D的坐标为：（﹣1，4），点A（﹣3，0），点C（0，3），

作点O关于直线AD的对称轴R，连接CR交AD于点F，则点F为所求点，

FC+FO＝FC+RF＝CR为最小，

连接AR，设直线OR交AD于点H，

由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝2x+6，

则tan∠DAO＝2＝tanα，

设∠HOA＝∠β，则tanβ＝，则cosβ＝，sinβ＝，

OH＝，OR＝2OH＝3，

yR＝ORsinβ＝3×＝3＝yC，

故RC∥x轴，

故yF＝3＝2x+6，x＝﹣，

则点F（﹣，3）；

②在Rt△ACD中，tan∠CAD，

在Rt△OBC中，tan∠OCB＝，

∴∠ACD＝∠OCB，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA＝45°，

∴∠FAO＝∠ACB，

若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：

当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，

∴OF∥BC，

设直线BC的解析式为y＝kx+b，

将点B、C的坐标代入上式并解得：

直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，

∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，

直线AD的解析式为y＝2x+6，

联立直线OF、AD的表达式，

解得：x＝﹣，故点F（﹣，）：；

当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，

∵∠CAB＝45°，

∴OF⊥AC，

∴直线OF的解析式为y＝﹣x，

将上式与y＝2x+6联立并解得：x＝﹣2，

故点F（﹣2，2）；

综合以上可得F点的坐标为（﹣，）或（﹣2，2）．