Question

已知，两个自然数的和、差、积、商相加，结果为100，求这两个自然数分别为多少？

Answer 1

考点：整数问题的综合运用

专题：

分析：设这两个自然数分别为a，b，依题意得（a+b）+（a-b）+ab+

a

b

=100，由上式可知

a

b

一定为整数，可得a一定是b的整数倍，再设a=bk（k为整数），则上式变形为：k（b+1）²=100，由k，b均为整数，可得100必须为两个整数之积，且其中一个因数必须为完全平方数，在100=1×100=2×50=4×25=5×20，其中1×100和4×25均符合题意，讨论四种情况即可得出答案．

解答：解：设这两个自然数分别为a，b，依题意得，（a+b）+（a-b）+ab+

a

b

=100，由上式可知

a

b

一定为整数，
∴a一定是b的整数倍，
∴设a=bk（k为整数），则上式变形为：2bk+b²k+k=100，即k（b²+2b+1）=100=k（b+1）²=100，
∵k，b均为整数，
∴100必须为两个整数之积，且其中一个因数必须为完全平方数，
∵100=1×100=2×50=4×25=5×20，其中1×100和4×25均符合题意，
∴①当k=1时，b+1=10，可得b=9，a=9，
②当k=100时，b+1=1，可得b=0，a=0，（不符合题意，舍去）
③当k=4时，b+1=5，可得b=4，a=16，
④当k=25时，b+1=2，可得b=1，a=25，
∴符合要求的自然数对有9，9和16，4和25，1．

点评：本题主要考查了整数问题的综合应用，解题的关键是根据题意正确的列出算式．