Question

【题目】将纸片△ABC沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的E处，展开如图1．

[操作观察]

（1）如图2，作DF⊥AC，垂足为F，且DF=3，AC=6，S△ABC=21，则AB=　 　；

[理解应用]

（2）①如图3，设G为AC上一点（与A、C）不重合，P是AD上一个动点，连接PG、PC．试说明：PG+PC与EG大小关系；

②连接EC，若∠BAC=60°，G为AC中点，且AC=6，求EC长．

[拓展延伸]

（3）请根据前面的解题经验，解决下面问题：

如图4，在平面直角坐标系中有A（1，4），B（3，﹣2），点P是x轴上的动点，连接AP、BP，当AP﹣BP的值最大时，请在图中标出P点的位置，并直接写出此时P点的坐标为　 　，AP﹣BP的最大值为　 　．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）①PG+PC≥EG，理由见解析；②连6；（3）（5，0），2．

【解析】

（1）根据折叠的特性可知折痕AD为∠BAC的角平分线，由此可得出点D到AB和点D到AC的距离相等，再根据三角形的面积公式即可得出结论；

（2）连接CM、PE、CE，根据三角形两边之和大于第三边得出当点P与点M重合时，PF+PC值最小，再根据折叠的性质得出AE=AC，结合∠BAC=60°即可得出△AEC为等边三角形，由此即可解决问题；

（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′、PB′，延长AB′交x轴于点P′，根据三角形内两边之差小于第三边找出当点P和P′点重合时，AP﹣BP的值最大，再由点B的坐标可得出点B′的坐标，结合点A、B′的坐标即可求出直线AB′的解析式，令其y=0求出x即可找出点P′的坐标，由此即可得出结论．

（1）∵将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处，∴AD为∠BAC的角平分线，∴点D到AB和点D到AC的距离相等，∴S△ABC=ABDF+ACDF=21，∴AB3+×6×3=21，∴AB=8．

故答案为：8．

（2）①结论：PG+PC≥EG．理由如下：

连接PE，如图3所示．

∵将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处，∴AD为∠BAC的角平分线，AE=AC，∴PE=PC．在△PEG中，PE+PG≥EG，∴PC+PG≥EG．

②连接EC，如图3中．

∵AE=AC，∠BAC=60°，∴△AEC为等边三角形．

又∵AC=6，∴EC=AC=6．

（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′、PB′，延长AB′交x轴于点P′，如图4所示．

∵点B和B′关于x轴对称，∴PB=PB′，P′B′=P′B．

∵在△APB′中，AB′＞AP﹣PB′，∴AP′﹣B′P′=AP′﹣BP′=AB′＞AP﹣PB′=AP﹣PB，∴当点P与点P′重合时，AP﹣BP最大．

设直线AB′的解析式为y=kx+b．

∵点B（3，﹣2），∴点B′（3，2），AB′===2．

将点A（1，4）、B′（3，2）代入y=kx+b中，得：，解得：，∴直线AB′的解析式为y=﹣x+5．

令y=﹣x+5中y=0，则﹣x+5=0，解得：x=5，∴点P′（5，0）．

故AP﹣BP的最大值为2，此时P点的坐标为（5，0）．

故答案为：（5，0），2．