Question

已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足

a

bc

+

b

ac

+

c

ab

=

1

c

+

1

b

+

1

a

，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：因式分解的应用

专题：常规题型

分析：先去分母得到a²+b²+c²=ab+ac+bc，再利用配方法得到（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²=0，则根据非负数的性质有a-b=0，b-c=0，a-c=0，所以a=b=c，于是可判断△ABC是等边三角形．

解答：解：△ABC是等边三角形．理由如下：
∵

a

bc

+

b

ac

+

c

ab

=

1

c

+

1

b

+

1

a

，
∴a²+b²+c²=ab+ac+bc，
∴2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0，
∴a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+a²-2ac+c²=0，
∴（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²=0，
∴a-b=0，b-c=0，a-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形．

点评：本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．也考查了等边三角形的定义．