【题目】我们定义:如图1,在中,把AB绕点按顺时针方向旋转得到,把AC绕点按逆时针方向旋转得到,连接.当时,我们称是的“旋补三角形”,边上的中线AD叫做的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.
特例感知
(1)在图2、图3中,是△ABC的“旋补三角形”,是的“旋补中线”.
①如图2,当为等边三角形时,AD与的数量关系为AD= ;
②如图3,当时,则长为 .
猜想论证
(2)在图1中,当为任意三角形时,猜想与BC的数量关系,并给予证明.
拓展应用
(3)如图4,在四边形中,.在四边形内部是否存在点,使是的“旋补三角形”?若存在,求的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.
【答案】(1)①;②4 ;(2),证明见解析;(3)存在,
【解析】
(1)①首先证明是含有30°的直角三角形,可得即可解决问题;
②首先证明,根据直角三角形斜边上的中线的性质即可解决问题;
(2)如图所示作出辅助线,首先证明四边形是平行四边形,再证明,即可解决问题;
(3)如图所示作出辅助线,证明PA=PD,PB=PC,再证明∠APD+∠BPC=180°即可.
解:(1)①在图2中,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=,
∵,
∴AD⊥,
∵∠BAC=60°,∠BAC+,
∴,
∴,
∴,
故答案为:;
②在图3中,
∵∠BAC=90°,∠BAC+,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵
∴,
故答案为:4;
(2)结论为:
理由:如下图,延长AD到点M,使得AD=DM,连接,,
∵,AD=DM,
∴四边形是平行四边形,
∴,
∵∠BAC+,
∴,
∵
∴(SAS)
∴BC=AM
∴;
(3)存在,
理由:如图4中,延长AD交BC的延长线于点M,作BE⊥AD于点E,作线段BC的垂直平分线交BE于点P,交BC于点F,连接PA、PD、PC,作△PCD的中线PN,连接DF交PC于点O.
∵∠ADC=150°,
∴∠MDC=30°,
在Rt△DCM中,
∵,∠DCM=90°,∠MDC=30°,
∴CM=2,DM=4,∠M=60°,
在Rt△BEM中,∵∠BEM=90°,BM=14,∠MBE=30°,
∴EM=,
∴DE=EM-DM=3,
∵AD=6,
∴AE=DE,
∵BE⊥AD,
∴PA=PD,PB=PC,
在Rt△CDF中,∵CD=,CF=6,
∴,
∴∠CDF=60°=∠CPF,
∴△FCP≌△CFD,
∴CD=PF,
又∵CD∥PF
∴四边形CDPF是矩形,
∴∠CDP=90°,
∴∠ADP=∠ADC-∠CDP=60°,
∴△ADP是等边三角形,
∴∠ADP=60°,
∵∠BPF=∠CPF=60°,
∴∠BPC=120°,
∴∠APD+∠BPC=180°,
∴△PCD是△PAB的“旋补三角形”,
在Rt△PDN中,∵∠PDN=90°,PD=AD=6,DN=,
PN=.
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【题目】下列说法:
①一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了次,其中,抛掷出点的次数最少,则第次一定抛掷出点.
②可能性很小的事件在一次实验中也有可能发生.
③天气预报说明天下雨的概率是,意思是说明天将有一半时间在下雨.
④抛掷一枚图钉,钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等.
正确的是________(填序号)
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D,F分别是AC,AB的中点,CE∥DB,BE∥DC.
(1)求证:四边形DBEC是菱形;
(2)若AD=3,DF=1,求四边形DBEC面积.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=10,点D是边BC上一动点 (不与B,C重合),∠ADE=∠B=α,DE交AC于点E,且 .下列结论: ①△ADE∽△ACD;②当BD=6时,△ABD与△DCE全等;③△DCE为直角三角形时,BD为8或;④CD2=CECA.其中正确的结论是________(把你认为正确结论的序号都填上)
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【题目】如图1,在中,,平分,连接,,.
(1)求的度数:
(2)如图2,连接,交于,连接,求证:;
(3)如图3,在(2)的条件下,点为的中点,连接交于点,若,求线段的长.
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【题目】如图,在边长为1的小正方形组成的方格纸中,有一个以格点为顶点的△ABC.
(1)△ABC的形状是 .
(2)利用网格线画△A′B′C′,使它与△ABC关于直线l对称.
(3)在直线l上求作点P使AP+CP的值最小,则AP+CP的最小值= .
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【题目】如图所示,∠ACD是△ABC的外角,∠A=40°,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且BE、CE交于点E.
(1)求∠E的度数.
(2)请猜想∠A与∠E之间的数量关系,请说明理由.
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