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【题目】我们定义:如图1,在中,把AB绕点按顺时针方向旋转得到,把AC绕点按逆时针方向旋转得到,连接.时,我们称的“旋补三角形”,边上的中线AD叫做的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.

特例感知

1)在图2、图3中,是△ABC的“旋补三角形”,是的“旋补中线”.

如图2,当为等边三角形时,AD的数量关系为AD=

如图3,当时,则长为

猜想论证

(2)在图1中,当为任意三角形时,猜想BC的数量关系,并给予证明.

拓展应用

(3)如图4,在四边形中,.在四边形内部是否存在点,使的“旋补三角形”?若存在,求的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.

【答案】1②4 ;(2,证明见解析;(3)存在,

【解析】

1)①首先证明是含有30°的直角三角形,可得即可解决问题;

②首先证明,根据直角三角形斜边上的中线的性质即可解决问题;

2)如图所示作出辅助线,首先证明四边形是平行四边形,再证明,即可解决问题;

3)如图所示作出辅助线,证明PA=PDPB=PC,再证明∠APD+∠BPC=180°即可.

解:(1)①在图2中,

∵△ABC是等边三角形,

AB=BC=AC=

AD

∵∠BAC=60°,∠BAC+

故答案为:

②在图3中,

∵∠BAC=90°,∠BAC+

故答案为:4

2)结论为:

理由:如下图,延长AD到点M,使得AD=DM,连接

AD=DM

∴四边形是平行四边形,

∵∠BAC+

SAS

BC=AM

3)存在,

理由:如图4中,延长ADBC的延长线于点M,作BEAD于点E,作线段BC的垂直平分线交BE于点P,交BC于点F,连接PAPDPC,作△PCD的中线PN,连接DFPC于点O

∵∠ADC=150°

∴∠MDC=30°

Rt△DCM中,

,∠DCM=90°,∠MDC=30°

CM=2DM=4,∠M=60°

RtBEM中,∵∠BEM=90°BM=14,∠MBE=30°

EM=

DE=EM-DM=3

AD=6

AE=DE

BE⊥AD

PA=PDPB=PC

Rt△CDF中,∵CD=CF=6

∴∠CDF=60°=∠CPF

∴△FCP≌△CFD

CD=PF

又∵CD∥PF

∴四边形CDPF是矩形,

∴∠CDP=90°

∴∠ADP=∠ADC-∠CDP=60°

∴△ADP是等边三角形,

∴∠ADP=60°

∵∠BPF=∠CPF=60°

∴∠BPC=120°

∴∠APD+∠BPC=180°

∴△PCD是△PAB的“旋补三角形”,

Rt△PDN中,∵∠PDN=90°PD=AD=6DN=

PN=

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