【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=10,点D是边BC上一动点 (不与B,C重合),∠ADE=∠B=α,DE交AC于点E,且 .下列结论: ①△ADE∽△ACD;②当BD=6时,△ABD与△DCE全等;③△DCE为直角三角形时,BD为8或;④CD2=CECA.其中正确的结论是________(把你认为正确结论的序号都填上)
【答案】①②③
【解析】
由AB=AC可知∠B=∠C,再由∠ADE=∠B可判断①;由三角形外角和定理可得∠ADB=∠DAC+∠C,∠DEC=∠DAC+∠ADE,而∠B=∠C=∠ADE=∠α,再由AB=AC且可求解出BC=16,则CD=16-6=10=AB,据此可判断②;由上问可知∠ADB=∠DEC,分∠DEC=90°和∠EDC=90°这两种情况进行求解即可判断③;若CD2=CECA,则,再由∠C是公共角,可得△ADE∽△ACD,而根据题干条件并不能得到该相似结论,据此可判断④.
解:由AB=AC可知∠B=∠C,再由∠ADE=∠B可知△ADE∽△ACD,故①正确;由三角形外角和定理可得∠ADB=∠DAC+∠C,∠DEC=∠DAC+∠ADE,而∠B=∠C=∠ADE,故∠ADB=∠DEC.由AB=AC=10且,可求解BC=16,则CD=16-6=10=AB.综合上述,由∠B=∠C、∠ADB=∠DEC、CD=AB可证明△ABD≌△DCE;由上问可知∠ADB=∠DEC,当∠DEC=90°时,∠ADB=90°,则D点为BC中点,BD=8.当∠EDC=90°时,则∠BAD=90°,则BD=,故③正确;若CD2=CECA,则,再由∠C是公共角,可得△ADE∽△ACD,而根据题干条件并不能得到该相似结论,故④错误;
故答案为:①②③.
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【题目】如图,已知点A,B在半径为1的⊙O上,∠AOB=60°,延长OB至C,过点C作直线OA的垂线记为l,则下列说法正确的是( )
A. 当BC等于0.5时,l与⊙O相离
B. 当BC等于2时,l与⊙O相切
C. 当BC等于1时,l与⊙O相交
D. 当BC不为1时,l与⊙O不相切
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是矩形,AD∥x轴,A(-3,),AB=1,AD=2,将矩形ABCD向右平移m个单位,使点A,C恰好同时落在反比例函数y=的图象上,得矩形A′B′C′D′,则反比例函数的解析式为______.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根,有下列结论:①b2﹣4ac>0;②abc<0;③m>2;④当x>0时,y随x的增大而减小.正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(c>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=OC=3,顶点为M.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P为线段BM上的一个动点,过点P作x轴的垂线PQ,垂足为Q,若OQ=m,四边形ACPQ的面积为S,求S关于m的函数解析式,并写出m的取值范围;
(3)探索:线段BM上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形?如果存在,求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】我们定义:如图1,在中,把AB绕点按顺时针方向旋转得到,把AC绕点按逆时针方向旋转得到,连接.当时,我们称是的“旋补三角形”,边上的中线AD叫做的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.
特例感知
(1)在图2、图3中,是△ABC的“旋补三角形”,是的“旋补中线”.
①如图2,当为等边三角形时,AD与的数量关系为AD= ;
②如图3,当时,则长为 .
猜想论证
(2)在图1中,当为任意三角形时,猜想与BC的数量关系,并给予证明.
拓展应用
(3)如图4,在四边形中,.在四边形内部是否存在点,使是的“旋补三角形”?若存在,求的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,等边的边长为,点从点出发,以秒的速度由向匀速运动,点从点出发,以秒的速度由向匀速运动,、交于点,当点到达点时,、两点停止运动,设、两点运动的时间为秒,若时,则的值是( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,在中,,,点从点开始沿向点以的速度运动,点从点开始沿边向点以的速度运动,如果、分别从、同时出发,秒后停止运动.则在开始运动后第几秒,与相似?
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