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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=10,点D是边BC上一动点 (不与B,C重合),∠ADE=∠B=α,DEAC于点E,且 .下列结论: ①△ADE∽△ACD;BD=6时,△ABD△DCE全等;③△DCE为直角三角形时,BD8④CD2=CECA.其中正确的结论是________(把你认为正确结论的序号都填上)

【答案】①②③

【解析】

AB=AC可知∠B=∠C,再由∠ADE=∠B可判断①;由三角形外角和定理可得∠ADB=∠DAC+∠C,∠DEC=∠DAC+∠ADE,而∠B=∠C=∠ADE=∠α,再由AB=AC可求解出BC=16,CD=16-6=10=AB,据此可判断②;由上问可知∠ADB=∠DEC,分∠DEC=90°和∠EDC=90°这两种情况进行求解即可判断③;若CD2=CECA,则,再由∠C是公共角,可得△ADE∽△ACD,而根据题干条件并不能得到该相似结论,据此可判断④.

解:由AB=AC可知∠B=∠C,再由∠ADE=∠B可知△ADE∽△ACD,故①正确;由三角形外角和定理可得∠ADB=∠DAC+∠C,∠DEC=∠DAC+∠ADE,而∠B=∠C=∠ADE,故∠ADB=∠DEC.AB=AC=10,可求解BC=16,则CD=16-6=10=AB.综合上述,由∠B=∠C、∠ADB=∠DEC、CD=AB可证明△ABD≌△DCE;由上问可知∠ADB=∠DEC,∠DEC=90°时,∠ADB=90°,则D点为BC中点,BD=8.∠EDC=90°时,则∠BAD=90°,则BD=,故③正确;若CD2=CECA,则,再由∠C是公共角,可得△ADE∽△ACD,而根据题干条件并不能得到该相似结论,故④错误;

故答案为:①②③.

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