Question

11．如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E为CD上一动点，AE交BD于点F，过点F作FH⊥AE，交BC于H，过H作GH⊥BD于点G，下列结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=$\frac{3}{2}$FG，④△CEH的周长为定值．其中正确的是①②④（写正确结论的序号）．

Answer 1

分析 ①作辅助线，延长HF交AD于点L，连接FC，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF=CF，故需证明FC=FH，可证：AF=FH；
②由HF⊥AP，AF=FH，可得：∠HAE=45°；
③作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD=2FG，只需证OA=GF即可，根据△AOF≌△FGE，可证OA=GF，故可证BD=2FG；
④作辅助线，延长AD至点M，使DM=AD，过点C作CI∥FL，则IL=HC，可证AL=HF，再根据△MFC≌△MIC，可证：CI=IM，故△CEH的周长为边AM的长，为定值．

解答 解：①如图1，连接FC，延长HF交AD于点L．
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠CDF=45°，
∵AD=CD，DF=DF，
在△ADF与△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADF=CDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△CDF，
∴FC=AF，∠ECF=∠DAF，
∵∠ALH+∠LAF=90°，
∴∠LHC+∠DAF=90°，
∵∠ECF=∠DAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC，
∴FH=AF，故①正确；

②∵FH⊥AE，FH=AF，
∴∠HAE=45°；故②正确；

③如图2，连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，
∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH=90°，
∴∠AFO=∠GHF．
∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，
在△AOF与△FGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFO=∠GHF}\\{AF=HF}\\{∠AOF=∠FGH}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△FGH，
∴OA=GF，
∵BD=2OA，
∴BD=2FG；故③错误；

④如图3，延长AD至点M，使DM=AD，过点C作CI∥FL，则：LI=HC，
根据△MEC≌△MIC，可得：CE=IM，
同理，可得：AL=HF，
∴HP+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．
∴△CEH的周长为8，为定值，故④正确；
故答案为：①②④．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质和正方形的性质，解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等是解题的关键．