【题目】如图1,直线l:y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣1),抛物线y=
x2+bx+c经过点B,与直线l的另一个交点为C(4,n).
(1)求n的值和抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线上,DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2),设点D的横坐标为t(0<t<4),矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值;
(3)将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“落点”,请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标.
【答案】(1)n=2;y=x2﹣
x﹣1;(2)p=
;当t=2时,p有最大值
;(3)
或
;
【解析】
(1)把点B的坐标代入直线解析式求出m的值,再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值,然后利用待定系数法求二次函数解析式解答;
(2)令y=0求出点A的坐标,从而得到OA、OB的长度,利用勾股定理列式求出AB的长,然后根据两直线平行,内错角相等可得∠ABO=∠DEF,再解直角三角形用DE表示出EF、DF,根据矩形的周长公式表示出p,利用直线和抛物线的解析式表示DE的长,整理即可得到P与t的关系式,再利用二次函数的最值问题解答;
(3)根据逆时针旋转角为90°可得A1O1∥y轴时,B1O1∥x轴,旋转角是180°判断出A1O1∥x轴时,B1A1∥AB,根据图3、图4两种情形即可解决.
解:
(1)∵直线l:y=x+m经过点B(0,﹣1),
∴m=﹣1,
∴直线l的解析式为y=x﹣1,
∵直线l:y=x﹣1经过点C(4,n),
∴n=×4﹣1=2,
∵抛物线y=x2+bx+c经过点C(4,2)和点B(0,﹣1),
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣
x﹣1;
(2)令y=0,则x﹣1=0,
解得x=,
∴点A的坐标为(,0),
∴OA=,
在Rt△OAB中,OB=1,
∴AB==
=
,
∵DE∥y轴,
∴∠ABO=∠DEF,
在矩形DFEG中,EF=DEcos∠DEF=DE=
DE,
DF=DEsin∠DEF=DE=
DE,
∴p=2(DF+EF)=2(+
)DE=
DE,
∵点D的横坐标为t(0<t<4),
∴D(t, t2﹣
t﹣1),E(t,
t﹣1),
∴DE=(t﹣1)﹣(
t2﹣
t﹣1)=﹣
t2+2t,
∴p=×(﹣
t2+2t)=﹣
t2+
t,
∵p=﹣(t﹣2)2+
,且﹣
<0,
∴当t=2时,p有最大值.
(3)“落点”的个数有6个,如图1,图2中各有2个,图3,图4各有一个所示.
如图3中,设A1的横坐标为m,则O1的横坐标为m+,
∴m2﹣
m﹣1=
(m+
)2﹣
(m+
)﹣1,
解得m=,
如图4中,设A1的横坐标为m,则B1的横坐标为m+,B1的纵坐标比例A1的纵坐标大1,
∴m2﹣
m﹣1+1=
(m+
)2﹣
(m+
)﹣1,
解得m=,
∴旋转180°时点A1的横坐标为或
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况,随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试(单位:个),根据测试结果,制成了下面不完整的统计图表:
组别 | 个数段 | 频数 | 频率 |
1 | 5 | 0.1 | |
2 | 21 | 0.42 | |
3 | |||
4 |
(1)表中的数 ,
;
(2)估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数;
(3)排球垫球测试结果小于10的为不达标,若不达标的5人中有3个男生,2个女生,现从这5人中随机选出2人调查,试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,点D是线段BC上的动点,将线段AD绕点A顺时针旋转60°至AD',连接BD'.若AB=2cm,则BD'的最小值为_____.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过A(4,4),B(2,m)两点,点B到抛物线对称轴的距离记为d,满足0<d≤1,则实数m的取值范围是( )
A. m≤2或m≥3 B. m≤3或m≥4 C. 2<m<3 D. 3<m<4
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(﹣4,3),B(﹣1,2),C(﹣2,1).
(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1,并写出点A1,B1、C1的坐标;
(2)画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2,并写出点A2,B2,C2的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,以点C为圆心,CA的长为半径的圆与AB、BC分别相交于点D、F,求圆心到AB的距离及AD的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在下列的网格图中.每个小正方形的边长均为1个单位,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.
(1)试在图中作出△ABC以A为旋转中心,沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1;
(2)若点B的坐标为(-3,5),试在图中画出直角坐标系,并标出A、C两点的坐标;
(3)根据(2)中的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2,并标出B2、C2两点的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(操作体验)
如图①,已知线段AB和直线l,用直尺和圆规在l上作出所有的点P,使得∠APB=30°,如图②,小明的作图方法如下:
第一步:分别以点A,B为圆心,AB长为半径作弧,两弧在AB上方交于点O;
第二步:连接OA,OB;
第三步:以O为圆心,OA长为半径作⊙O,交l于;
所以图中即为所求的点.(1)在图②中,连接
,说明∠
=30°
(方法迁移)
(2)如图③,用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P,使得∠BPC=45°,(不写做法,保留作图痕迹).
(深入探究)
(3)已知矩形ABCD,BC=2.AB=m,P为AD边上的点,若满足∠BPC=45°的点P恰有两个,则m的取值范围为________.
(4)已知矩形ABCD,AB=3,BC=2,P为矩形ABCD内一点,且∠BPC=135°,若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q,则PQ的最小值为________.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com