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【题目】一个边长为4的等边三角形ABC的高与O的直径相等,如图放置,O与BC相切于点C,O与AC相交于点E

(1)求等边三角形的高;

(2)求CE的长度;

(3)若将等边三角形ABC绕点C顺时针旋转,旋转角为α(0°<α<360°),求α为多少时,等边三角形的边所在的直线与圆相切.

【答案】(1)2;(2)3;(3)α=60°或120°或180°或300°.

【解析】

(1)作AMMC于M,在直角三角形ACM中,利用勾股定理即可解题,

(2)连接EF,在直角三角形CEF中, 利用勾股定理即可解题,

(3)画出图形即可解题.

解:(1)如图,作AM⊥MCM.

∵△ABC是等边三角形,

∴∠MAC=∠MAB=30°,

∴CM=AC=2,

∴AM==2

(2)∵CF⊙O直径,

∴CF=CM=2,连接EF,则∠CEF=90°,

∵∠ECF=90°﹣∠ACB=30°,

∴EF=CF=

∴CE==3.

(3)由图象可知,α=60°120°180°300°时,等边三角形的边所在的直线与圆相切.

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