Question

9．如图，抛物线y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点M的坐标为（2$\sqrt{3}$，1）．以M为圆心，2为半径作⊙M．则下列说法正确的是①②③④（填序号）．
①tan∠OAC=$\sqrt{3}$；
②直线AC是⊙M的切线；
③⊙M过抛物线的顶点；
④点C到⊙M的最远距离为6；
⑤连接MC，MA，则△AOC与△AMC关于直线AC对称．

Answer 1

分析 过点M作MN⊥AB于点N，交⊙M于点D，则AN=BN，先根据A、B、C的坐标，求出OA、OC、AN，根据tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\sqrt{3}$得出①正确，∠CAO=60°，
再根据tan∠MAN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得出∠MAN=30°，证出MA⊥AC，得出直线AC是⊙M的切线，②正确，求出D点的坐标为（2$\sqrt{3}$，-1），再根据抛物线的顶点坐标为（2$\sqrt{3}$，-1），得出③正确，根据MA⊥AC，求出CM=4，得出点C到⊙M的最远距离为4+2=6，④正确，根据∠AOC=90°，∠AMC≠90°，得出△AOC与△AMC关于直线AC不对称，⑤错误．

解答 解：过点M作MN⊥AB于点N，交⊙M于点D，
则AN=BN，
∵抛物线y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
∴A，B两点的坐标是（$\sqrt{3}$，0），（3$\sqrt{3}$，0），点C的坐标为（0，3），
∴OA=$\sqrt{3}$，OC=3，AN=$\sqrt{3}$，
∴tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴①正确，∠CAO=60°，
∵点M的坐标为（2$\sqrt{3}$，1），
∴MN=1，
∵tan∠MAN=$\frac{MN}{AN}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠MAN=30°，
∴MA⊥AC，
∴直线AC是⊙M的切线，
∴②正确，
∵⊙M的半径为2，
∴DN=1，
∴D点的坐标为（2$\sqrt{3}$，-1），
∵抛物线y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+3的顶点坐标为（2$\sqrt{3}$，-1），
∴⊙M过抛物线的顶点，
∴③正确，
∵OA=$\sqrt{3}$，∠ACO=30°，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∵MA⊥AC，
∴CM=$\sqrt{A{C}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=4，
∴点C到⊙M的最远距离为4+2=6，
∴④正确，
∵∠AOC=90°，∠AMC≠90°，
∴△AOC与△AMC关于直线AC不对称，
∴⑤错误，
故答案为：①②③④．

点评 此题考查了二次函数综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、勾股定理、切线的判定、垂径定理等，关键是综合运用有关定理对每个命题进行判断．