Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，P为劣弧

BC

上任意一点，∠APB=∠APC=60°；
（1）若AB=3，求△ABC的周长；
（2）判断出PA、PB、PC三条线段之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）△ABC形状是等边三角形，根据圆周角定理和等边三角形的判定方法证明即可；
（2）猜想：AP=BP+CP，可通过构建全等三角形来求解．

解答：解：（1）如图，∵∠APB=∠APC=60°，
∴∠ABC=∠APC=60°，∠ACB=∠APB=60°，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴△ABC的周长=3AB=3×3=9；

（2）AP=BP+CP．理由如下：
如图，延长BP使PD=PC，连接CD，
∵∠APC=60°，∠BPC=120°，
∴∠PBC=∠PAC．
∴∠CPD=60°．
∴△PCD是等边三角形．
∴∠D=60°=∠APC．
在△BCD和△ACP中，

∠D=∠APC ∠DBC=∠PAC BC=AC

，
∴△BCD≌△ACP（AAS）．
∴BD=AP．
∵BD=BP+PD=BP+CP，
∴AP=BP+CP．

点评：本题考查的是圆周角定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．