Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE交边AC于点F．
（1）求BC的长；
（2）设FC=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结EF，当△DEF和△ABC相似时，求BE的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,解直角三角形

专题：

分析：（1）根据勾股定理可得出BC的长度；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H，容易证得△ACB∽△EHB，△DFC∽△EDH，根据相似三角形的性质得到两个关于BH与EH的关系式，两者结合可求得y关于x的函数关系式；
（3）过点E作EH⊥BC，垂足为H，设EH=3k，BE=5k，根据相似的性质可求出k的值，在解题时要注意分类讨论．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，
∵AB²=BC²+AC²，
∴BC=8．

（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H．
易得△ACB∽△EHB，
可得：

BC

AC

=

BH

EH

即：

8

6

=

BH

EH

…①
∵DF⊥DE
∴∠EDB+∠FDC=90°，
∵∠FDC+∠CFD=90°，
∴∠EDB=∠CFD
∵∠EHD=∠C=90°
∴△DFC∽△EDH，
可得：

CF

CD

=

DH

EH

，
即：

x

4

=

DH

EH

…②
结合①②，可得：BH=

64

3x+16

，
∵△ACB∽△EHB，
∴

BC

AB

=

BH

BE

，
即：

8

10

=

BH

y

，
∴y=

5

4

BH=

80

3x+16

，
∵其中F是在AC线段上的，
∴0≤x≤6．
∴y关于x的函数关系式：y=

80

3x+16

（0≤x≤6）．

（3）过点E作EH⊥BC，垂足为H．
易得△EHB∽△ACB
设EH=3k，BE=5k
∵△EHD∽△DCF
∴

EH

CD

=

DE

DF

，
当△DEF和△ABC相似时，有两种情况：
①

DE

DF

=

AC

BC

=

3

4

，
∴

EH

CD

=

3

4

，
即

3k

2

=

3

4

，
解得k=

1

2

，
∴BE=5k=

5

2

；
②

DE

DF

=

BC

AC

=

4

3

，
∴

EH

CD

=

4

3

，
即

3k

2

=

4

3

，
解得k=

8

9

，
∴BE=5k=

40

9

．
综合①②，当△DEF和△ABC相似时，BE的长为

5

2

或

40

9

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及解直角三角形的运用，题目难度不小，具有一定的综合性．解题的关键是利用相似三角形的性质得到边长的相似比，另外求两个三角形相似时，要注意分类讨论．