Question

如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在AB，AD上，且AE=DF，连接BF与DE，相交于点G，连接CG，与BD相交于点H，下列结论：
①△AED≌△DFB；②DG+BG=CG；③S_{四边形BCDG}=

3

4

CG²；  
其中正确的结论有（　　）个．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、0

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：①根据等边三角形的三条边都相等，三个内角都为60°的性质，利用全等三角形的判定定理SAS证得结论．
②延长FB到点M，使BM=DG，连接CM．构建全等三角形△CDG≌△CBM，然后利用全等三角形的性质来证明CG=DG+BG．
③证明∠BGE=60°=∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC=∠DGC=60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CGM≌△CGN，继而可得Rt△CDN≌Rt△CBM，所以S_{四边形BCDG}=S_{四边形CMGN}，易求后者的面积．

解答：解：①∵菱形ABCD为菱形，∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠A=∠BDF=60°，AD=BD，
在△AED和△DFB中，

AD=BD ∠A=∠BDF AE=DF

，
∴△AED≌△DFB（SAS），故本小题正确；

②延长FB到点M，使BM=DG，连接CM．
由（1）知，△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠CDG=∠ADC-∠ADE=120°-∠ADE，∠CBM=120°-∠DBF．
∴∠CBM=∠CDG，
∵△DBC是等边三角形，
∴CD=CB，
在△CDG和△CBM中，

CD=CB ∠CDG=∠CBM DG=BM

，
∴△CDG≌△CBM（SAS），
∴∠DCG=∠BCM，CG=CM，
∴∠GCM=∠DCB=60°，
∴△CGM是等边三角形，
∴CG=GM=BG+BM=BG+DG．故正确．

③∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．
∴∠BGC=∠DGC=60°．
过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．
在△CGM和△CGN中，

∠CMB=∠CND=90° ∠BGC=∠DGC CG=CG

则△CGM≌△CGN（AAS），
∴CN=CM，
在Rt△CDN和Rt△CBM中，

CN=CM CD=CB

，
∴Rt△CDN≌Rt△CBM（HL），
∴S_{四边形BCDG}=S_{四边形CMGN}．
S_{四边形CMGN}=2S_△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=

1

2

CG，CM=

3

2

CG，
∴S_{四边形CMGN}=2S_△CMG=2×

1

2

×

1

2

CG×

3

2

CG=

3

4

CG²，故本小题正确．
故选C．

点评：此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．