Question

5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接AE、OD、DE、AE与OD相交于F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=10，OF=2，求AD的长；
（3）四边形AOED是平行四边形时，求sin∠CAE的值．

Answer 1

分析 （1）连结OE，如图，先根据圆周角定理，由AB为直径得到∠ADB=90°，再根据直角三角形斜边上的中线性质得BE=DE=CE，然后证明△ABE≌△ODE得到∠OBE=∠ODE=90°，再利用切线的判定定理判断DE是⊙O的切线；
（2）先证明OE为△BAC的中位线，得到OE∥AC，OE=$\frac{1}{2}$AC，利用平行线分线段成比例定理得出$\frac{OE}{AD}=\frac{OF}{DF}$=$\frac{2}{3}$，设OE=2x，则AD=3x，AC=4x，CD=AC-AD=x，证明Rt△CBD∽Rt△CAB，得出对应边成比例求出BC=2x，由勾股定理求出AB=2$\sqrt{3}$x=10，得出x的值，即可得出结果；
（3）作EH⊥AC于H，由平行四边形的性质得出AB∥DE，得出DE⊥BC，证出△BDC为等腰直角三角形，CH=DH，得出△CEH和△ABC都是等腰直角三角形，设⊙O的半径为r，则AB=2r，AD=CD=$\sqrt{2}$r，CH=DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，得出EH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，由勾股定理求出AE，再由三角函数定义即可得出结果．

解答 （1）证明：连结OE，如图1，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵E是Rt△BCD斜边BC的中点，
∴BE=DE=CE，
在△ABE和△ODE中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}&{\;}\\{BE=DE}&{\;}\\{OE=OE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ODE（SSS），
∴∠OBE=∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB=10，OF=2，
∴DF=5-2=3，
∵OA=OB，BE=CE，
∴OE为△BAC的中位线，
∴OE∥AC，OE=$\frac{1}{2}$AC，
∵OE∥AD，
∴$\frac{OE}{AD}=\frac{OF}{DF}$=$\frac{2}{3}$，
设OE=2x，则AD=3x，AC=4x，
∴CD=AC-AD=x，
∵∠BCD=∠ACB，
∴Rt△CBD∽Rt△CAB，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{CB}{CA}$，即$\frac{x}{cb}=\frac{CB}{4x}$，
解得：BC=2x，
在Rt△ABC中，∵AC=4x，BC=2x，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$x，
∴2$\sqrt{3}$x=10，
解得：x=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴AC=4x=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$；
（3）解：作EH⊥AC于H，如图2，
∵四边形AOED是平行四边形，
∴AB∥DE，
∴DE⊥BC，
而BE=CE，
∴△BDC为等腰直角三角形，CH=DH，
∴∠C=45°，
∴△CEH和△ABC都是等腰直角三角形，
设⊙O的半径为r，则AB=2r，AD=CD=$\sqrt{2}$r，CH=DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
∴EH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
∴AH=$\sqrt{2}$r+$\frac{\sqrt{2}}{2}$r=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$r，
∴AE=$\sqrt{A{H}^{2}+E{H}^{2}}$=$\sqrt{5}$r，
在Rt△AEH中，sin∠HAE=$\frac{EH}{AE}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}r}{\sqrt{5}r}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
即sin∠CAE的值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（2）（3）中，需要证明三角形相似、等腰直角三角形和运用勾股定理才能得出结果．