Question

20．如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，BC=2OC=2，DE=1，DE∥AC，
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）求出菱形ABCD与矩形OCED的各内角度数、对角线长、周长、面积；
（3）连结OE，OE交CD于F，求OE与CD夹角（锐角），并判断OF与AD的关系，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判断出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明；
（2）利用菱形的性质，对角线互相平分且垂直以及菱形对角线平分每组对角，再结合矩形的性质分别得出答案；
（3）利用矩形的性质结合三角形中位线定理求出答案．

解答 （1）证明：∵O是菱形ABCD的对角线的交点，BC=2OC=2，
∴CO=1，
又∵DE∥AC，DE=1，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵O是菱形ABCD的对角线的交点，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠COD=90°，∠ADB=∠BDC，AO=CO，BO=DO，
∵∠COD=90°，CO=$\frac{1}{2}$BC=1，则CO=$\frac{1}{2}$DC=1，
∴∠CDO=∠ADB=30°，DO=$\sqrt{3}$，
∴∠ADC=∠ABC=60°，则∠DCB=∠BAD=120°，
即菱形ABCD的对角线AC=2，BD=2$\sqrt{3}$，周长为：8，
其面积为：$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∵四边形OCED是矩形，
∴DO=EC=$\sqrt{3}$，CO=DE=1，其内角度数都为90°，
∴矩形OCED的周长为：2$\sqrt{3}$+2，其对角线DC=2，
矩形OCED的面积为：$\sqrt{3}$；

（3）解：FO$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，
理由：如图所示：连接EO，交DC于点F，
∵四边形OCED是矩形，
∴FD=FC=OF=EF，
∴FO是△DBC的中位线，
∴FO$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，
∴∠OFC=180°-∠BCF=60°．

点评 此题主要考查了矩形的性质以及菱形的性质以及矩形的判定等知识，正确应用矩形的性质得出各内角度数是解题关键．