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【题目】已知如图平面直角坐标系中,点O是坐标原点,矩形ABCO是顶点坐标分别为A(3,0)、B(3,4)、C(0,4).点Dy轴上,且点D的坐标为(0,﹣5),点P是直线AC上的一动点.

(1)当点P运动到线段AC的中点时,求直线DP的解析式(关系式);

(2)当点P沿直线AC移动时,过点D、P的直线与x轴交于点M.问在x轴的正半轴上是否存在使DOMABC相似的点M?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)当点P沿直线AC移动时,以点P为圆心、R(R>0)为半径长画圆.得到的圆称为动圆P.若设动圆P的半径长为,过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F.请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF?若存在,请求出最小面积S的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=x﹣5;(2)若DOMCBA相似,则点M的坐标为(,0)或(,0);(3)

【解析】

试题(1)只需先求出AC中点P的坐标,然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式.

2)由于△DOM△ABC相似,对应关系不确定,可分两种情况进行讨论,利用三角形相似求出OM的长,即可求出点M的坐标.

3)易证SPED=SPFD.从而有S四边形DEPF=2SPED=DE.由∠DEP=90°DE2=DP2﹣PE2=DP2.根据点到直线之间,垂线段最短可得:当DP⊥AC时,DP最短,此时DE也最短,对应的四边形DEPF的面积最小.借助于三角形相似,即可求出DP⊥ACDP的值,就可求出四边形DEPF面积的最小值.

解:(1)过点PPH∥OA,交OC于点H,如图1所示.

∵PH∥OA

∴△CHP∽△COA

==

PAC中点,

∴CP=CA

∴HP=OACH=CO

∵A30)、C04),

∴OA=3OC=4

∴HP=CH=2

∴OH=2

∵PH∥OA∠COA=90°

∴∠CHP=∠COA=90°

P的坐标为(2).

设直线DP的解析式为y=kx+b

∵D0﹣5),P2)在直线DP上,

直线DP的解析式为y=x﹣5

2△DOM∽△ABC,图21)所示,

∵△DOM∽△ABC

=

B坐标为(34),点D的坐标为(0﹣5),

∴BC=3AB=4OD=5

=

∴OM=

Mx轴的正半轴上,

M的坐标为(0

△DOM∽△CBA,如图22)所示,

∵△DOM∽△CBA

=

∵BC=3AB=4OD=5

=

∴OM=

Mx轴的正半轴上,

M的坐标为(0).

综上所述:若△DOM△CBA相似,则点M的坐标为(0)或(0).

3∵OA=3OC=4∠AOC=90°

∴AC=5

∴PE=PF=AC=

∵DEDF都与⊙P相切,

∴DE=DF∠DEP=∠DFP=90°

∴SPED=SPFD

∴S四边形DEPF=2SPED

=2×PEDE

=PEDE

=DE

∵∠DEP=90°

∴DE2=DP2﹣PE2

=DP2

根据点到直线之间,垂线段最短可得:

DP⊥AC时,DP最短,

此时DE取到最小值,四边形DEPF的面积最小.

∵DP⊥AC

∴∠DPC=90°

∴∠AOC=∠DPC

∵∠OCA=∠PCD∠AOC=∠DPC

∴△AOC∽△DPC

=

∵AO=3AC=5DC=4﹣﹣5=9

=

∴DP=

∴DE2=DP2

=2

=

∴DE=

∴S四边形DEPF=DE

=

四边形DEPF面积的最小值为

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