Question

如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=2α．请根据图中的提示，利用面积方法证明：sin2α=2sinα•cosα．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：证明题

分析：根据题目信息，利用角2α与α表示△ABC的面积，S_△ABC=2S_△ABD，然后整理，再根据余弦定义，余弦=邻边：斜边，进行代换即可证明．

解答：证明：根据题目信息，S_△ABC=

1

2

AB•ACsin2α，S_△ABD=

1

2

AB•ADsinα，
∵AB=AC，AD⊥BC于D，
∴S_△ABC=2S_△ABD，
∴

1

2

AB•ACsin2α=2×

1

2

AB•ADsinα，
即sin2α=2sinα×

AD

AC

，
在Rt△ADC中，

AD

AC

=cosα，
∴sin2α=2sinαcosα．

点评：本题通过题目提供信息考查了解直角三角形，读懂题目信息并根据信息表示出三角形的面积是解题的关键．