Question

18．已知关于x的一元二次方程x²-2x-m=0有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x₁、x₂，且x₁•x₂=2m²-1，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
（2）由根与系数的关系可以得到x₁•x₂=-m=2m²-1，据此即可求得m的值．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-2x-m=0有两个实数根，
∴b²-4ac=4+4m≥0，
解得m≥-1；

（2）由根与系数的关系可知：x₁•x₂=-m，
∵x₁•x₂=2m²-1，
∴-m=2m²-1，
整理得：2m²+m-1=0，
解得：m=$\frac{1}{2}$或m=-1．
∵$\frac{1}{2}$，-1都在（1）所求m的取值范围内，
∴所求m的值为$\frac{1}{2}$或-1．

点评 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
也考查了根与系数的关系．