Question

3．如图：AB∥CD，E，F分别是AC，DB的中点．
（1）猜想DC，EF，AB关系，并证明？
（2）延长EF交BC于点G，①证明G是BC中点；②猜想DC，FG，AB关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）连接CF，延长CF交AB于点H，证得△DFC≌△HFB，得出CF=FH，DC=BH，进一步利用三角形的中位线解决问题；
（2）①利用平行线分线段成比例得出答案即可；
②进一步利用三角形的中位线定理得出答案即可．

解答 解：（1）EF=$\frac{1}{2}$（AB-CD）；
理由如下：如图，

连接CF，延长CF交AB于点H，
∵AB∥CD，F是DB的中点．
∴∠CDF=∠FBH，∠DCF=∠BHF，DF=BF，
在△DFC和△HFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠FBH}\\{∠DCF=∠BHF}\\{DF=BF}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△HFB，
∴CF=HF，CD=BH，
∵E是AC的中点，
∴EF是△ACH的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{1}{2}$（AB-AH）=$\frac{1}{2}$（AB-CD）；
（2）如图，

①由（1）可知EF是△ACH的中位线，
EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∵DF=FB，
∴BG=GC，
∴G是BC中点；
②FG=$\frac{1}{2}$CD
理由：∵G是BC中点，F是CD的中点，
∴FG=$\frac{1}{2}$CD．

点评 此题考查三角形的中位线定理，三角形全等的判定与性质，作出辅助线，证明三角形全等，利用三角形的中位线解决问题．