Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；

（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+4；（2）PG=﹣m2﹣m；（3）﹣1或﹣．

【解析】

试题分析：（1）将点A和点B的坐标代入求出函数解析式；（2）根据点E的坐标得出点P的坐标，根据点B和点E的坐标得出点G的坐标，然后根据PG=PE件EG得出；（3）首先根据△BGP和△DEH相似得出EH的长度，然后根据△BGP∽△DEH和△PGB∽△DEH两种情况求出m的值．

试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4），

∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+4

（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，

∴P（m，﹣m2﹣m+4），G（m，4），∴PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m；

（3）由﹣x2﹣x+4=0，解得x=1或﹣3，∴D（﹣3，0）．

当点P在直线BC上方时，﹣x2﹣x+4=4，得﹣2＜m＜0．

∵△BGP∽△DEH，∴，即

在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似分两种情况：

①如果△BGP∽△DEH，那么=，即 =，解得m=﹣1；

②如果△PGB∽△DEH，那么=，即=，得m=﹣．

综上所述，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或﹣．