Question

【题目】如图①，已知抛物线的顶点为点P，与y轴交于点B．点A坐标为（3，2）．点M为抛物线上一动点，以点M为圆心，MA为半径的圆交x轴于C，D两点（点C在点D的左侧）．

（1）如图②，当点M与点B重合时，求CD的长；

（2）当点M在抛物线上运动时，CD的长度是否发生变化？若变化，求出CD关于点M横坐标x的函数关系式；若不发生变化，求出CD的长；

（3）当△ACP与△ADP相似时，求出点C的坐标．

Answer 1

【答案】（1） CD=4；（2）不发生变化，CD=4；（3）点C坐标为：（1,0），，

【解析】

（1）如图，先利用勾股定理求MC的长和OC的长，再利用垂径定理求得CD的长度；

（2）如图所示，过点M作MH⊥x轴，垂足为H，连接AM、MC，由勾股定理可知，CH=2，结合垂径定理可求得CD的长；

（3）分为点M与点P重合，点M在点P的左侧，点M在点P的右侧三种情况画出图形，然后依据相似三角形的对应边成比例可求得OC的长，从而可求得点C的坐标；

（1）如图：连结BC，BD，

由题意得：，（3，2），

∴，

∴，

∴CD=2OC=4；

（2）如图：作MH⊥x轴，连结MA，MC，

设，则半径，

∴=，

∵MH⊥CD，

∴CD=2CH=4，

（3）①当△APC∽△APD，即全等时，

∴PC=PD，P与M重合，

∵P（3，0），CD=4，

∴C（1，0）

②如图，点M在点P的左侧，

△APC∽△DPA，，

设PC=x，x（x-4）=4，解得（舍去负值），

∴，

③如图，点M在点P的右侧

△APC∽△DPA，，

设PC=x，x（x+4）=4，解得（舍去负值），

∴，

综上所述，点C坐标为：C（1，0）；；；