Question

13．设抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x+1）（x-2）与x轴交于A、C两点（点A在点C的左边），与y轴交于点B．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）已知点D在坐标平面内，△ABD是顶角为120°的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）若点P、Q位于抛物线的对称轴上，且PQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求四边形ABQP周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）令x=0，求出与y轴的坐标；令y=0，求出与x轴的坐标；
（2）分三种情况讨论：①当AB为底时，若点D在AB上方；若点D在AB下方；②当AB为腰时，A为顶点时，③当AB为腰时，A为顶点时；仔细解答即可．
（3）当AP+BQ最小时，四边形ABQP的周长最小，根据轴对称最短路径问题解答．

解答 解：（1）当x=0时，y=-$\sqrt{3}$；
当y=0时，x=-1或x=2；
则A（-1，0），B（0，-$\sqrt{3}$），C（2，0）；
（2）如图，Rt△ABO中，OA=1，OB=$\sqrt{3}$，
∴AB=2，∠ABO=30°，∠BAO=60°，
∴△ABD是顶角为120°的等腰三角形．
①当AB为底时，若点D在AB上方，由∠ABO=∠BAD=30°，AB=2，得D₁（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
若点D在AB下方，由∠BAD=∠DBA=30°，AB=2，得D₂（-1，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
②当AB为腰时，A为顶点时，
∵∠DAB=120°，∠OAB=60°，AD=AB=2，
∴点D在y轴或x轴上，
若D在y轴上，得D₃（0，$\sqrt{3}$），若D在x轴上，得D₄（-3，0）；
③当AB为腰时，A为顶点时，
若点D在第三象限，
∵∠DBO=150°，BD=2，得D₅（-1，-2$\sqrt{3}$）；
若点D在第四象限时，
∵DB∥x轴，BD=2，得D₆（2，-$\sqrt{3}$），
∴符合要求的点D的坐标为（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），（-1，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），（0，$\sqrt{3}$），（-3，0），（-1，-2$\sqrt{3}$），（2，-$\sqrt{3}$）；
（3）当AP+BQ最小时，四边形ABQP的周长最小，
把点B向上平移$\frac{\sqrt{3}}{3}$个单位后得到B₁（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∵BB₁∥PQ，且BB₁=PQ，
∴四边形BB₁PQ是平行四边形，
∴BQ=B₁P，
∴AP+BQ=AP+B₁P，
要在直线x=$\frac{1}{2}$上找一点P，使得AP+B₁P最小，
作点B₁关于直线x=$\frac{1}{2}$的对称点，得B2（1，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
则AB₂就是AP+BQ的最小值，AB₂=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
AB=2，PQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴四边形ABQP的周长最小值是$\frac{5\sqrt{3}}{3}$+2．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及二次函数与x轴的交点、与y轴的交点、等腰三角形的性质、勾股定理等内容，存在性问题的出现使得难度增大．