Question

【题目】已知AB∥CD，解决下列问题：

（1）如图①，写出∠ABE、∠CDE和∠E之间的数量关系：　 　；

（2）如图②，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，若∠E＝100°，求∠P的度数；

（3）如图③，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，试写出∠P与∠E的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；（2）130°；（3）∠P+∠E＝120°，理由见解析

【解析】

（1）猜想得到三角之间的关系，验证即可；

（2）根据得出三角关系，以及角平分线定义求出四边形PBED中的三个角，进而利用四边形内角和求出所求角的度数即可；

（3）依此类推确定出两角关系，验证即可．

（1）根据题意得：∠ABE+∠CDE+∠E＝180°，理由如下：

过E作EF∥AB，

∴∠FEB+∠EBA＝180°，

∵CD∥AB，EF∥AB，

∴CD∥EF，

∴∠CDE+∠DEF＝180°，

∴∠CDE+∠DEB+∠ABE＝360°，

故答案为：∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；

（2）∵BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，

∴∠EDP＝∠CDE，∠EBP＝∠ABE，即∠CDE＝2∠EDP，∠ABE＝2∠EBP，

代入（1）的等式得：2∠EBP+2∠EDP+∠E＝360°，

∵∠E＝100°，

∴∠EBP+∠EDP＝180°﹣∠E＝130°，

在四边形PBED中，∠P＝360°﹣（∠EBP+∠EDP+∠E）＝360°﹣（130°+100°）＝130°；

（3）∠P与∠E的数量关系为：∠P+∠E＝120°，理由如下：

∵∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，

∴∠CDE＝3∠CDP＝1.5∠EDP，∠ABE＝3∠ABP＝1.5∠EBP，

代入（1）的等式得：1.5∠EBP+1.5∠EDP+∠E＝360°，

∴∠EBP+∠EDP＝240°﹣∠E，

在四边形PBED中，∠P+∠EBP+∠EDP+∠E＝360°，

∴∠P+240°﹣ ∠E+∠E＝360°，即∠P+∠E＝120°．