Question

【题目】在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O(0，0)，点A(5，0)，点B(0，3)．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．

(Ⅰ)如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；

(Ⅱ)如图②，当点D落在线段BE上时， AD与BC交于点H．

①求证△ADB≌△AOB；

②求点H的坐标．

(Ⅲ)记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围(直接写出结果即可)．

Answer 1

【答案】（I）D(1，3)；（II）①详见解析；②H(，3)；（III）

【解析】

(Ⅰ)在Rt△ACD中求出CD即可解决问题；

(Ⅱ)①根据HL证明即可；

②首先证明BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC﹣BH=5﹣m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；

(Ⅲ)如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；

(Ⅰ)如图①中，

∵A(5，0)，B(0，3)，

∴OA=5，OB=3，

∵四边形AOBC是矩形，

∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，

∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，

∴AD=AO=5，

在Rt△ADC中，CD=，

∴BD=BC﹣CD=1，

∴D(1，3)；

(Ⅱ)①如图②中，连结AB，

由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，

∵点D在线段BE上，

∴∠ADB=90°，

∵AD=AO，AB=AB，∠AOB=90°，

∴Rt△ADB≌Rt△AOB(HL)；

②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，

在矩形AOBC中，OA∥BC，

∴∠CBA=∠OAB，

∴∠BAD=∠CBA，

∴BH=AH，

设AH=BH=m，则HC=BC﹣BH=5m，

在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，

∴m2=32+(5m)2，

∴m=，即BH=，

∴H(，3)；

(Ⅲ)如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，

最小值=DEDK=×3×(5)=，

当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，

最大面积=D′E′KD′=×3×(5+)=．

综上所述，．