Question

【题目】如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,过C点作CD⊥AB,垂足为D,且AD=m,BD= n,AC2:BC2=2:1,又关于x的方程x2-2(n-1)x+m2-12=0，两实数根的差的平方小于192，

求:m，n为整数时，一次函数y=mx+n的解析式.

Answer 1

【答案】当n=1，m=2时，所求解析式为y=2x+1；当n=2，m=4时，解析式为y=4x+2.

【解析】

由题意得到△ABC∽△ACD，根据△ABC∽△ACD，求出m和n之间的关系式；再根据根与系数的关系求出m、n的取值范围，然后估算，即可求得一次函数的解析式．

过C点作CD⊥AB,垂足为D,则∠CDA=90°,又因为∠ACB=90°, ∠CDA=∠ACB,则故△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得，AC2=ADAB；同理可得△ABC∽△BCD，则，故BC2=BDAB，∵，∴，∴m=2n…①，

∵关于x的方程x2-2（n-1）x+m2-12=0有两实数根，
∴△=[-2（n-1）]2-4××（m2-12）≥0，
∴4n2-m2-8n+16≥0，把①代入上式得n≤2…②，
设关于x的方程x2-2（n-1）x+m2-12=0的两个实数根分别为x1，x2，
则x1+x2=8（n-1），x1x2=4（m2-2），
依题意有（x1-x2）2＜192，即[8（n-1）]2-16（m2-12）＜192，
∴4n2-m2-8n+4＜0，把①式代入上式得n＞…③，由②、③得＜n≤2，
∵m、n为整数，∴n的整数值为1，2，
当n=1，m=2时，所求解析式为y=2x+1；当n=2，m=4时，解析式为y=4x+2．