Question

13．如图，在直角坐标系xOy中，直线l：y=ax+b交x轴于点A（-2，0），交y轴于点B（0，2），半径为$\sqrt{2}$的⊙P与x轴相切于点C（$\sqrt{2}$，0）．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）试判断直线l与⊙P位置关系，并说明理由；
（3）当反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象与⊙P有两个交点时，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）用两点法求直线解析式即可；
（2）过点P作PM垂直于直线l，证明PM等于半径即可；
（3）首先论证圆P与y轴相切，作经过圆心的射线OP，求出与圆P的两个交点，代入反比例函数即可求出k的范围．

解答 解：（1）把A（-2，0），点B（0，2），坐标代入y=ax+b，
解得：b=2，a=1
∴直线l的函数解析式为：y=x+2；
（2）如图1

连接PC，过点P作PN∥x轴，交直线AB于点N，作PM⊥AB于点M，
由半径为$\sqrt{2}$的⊙P与x轴相切于点C（$\sqrt{2}$，0），
可知：PC⊥x轴，点P（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
由（1）知，直线AB：y=x+2，代入y=$\sqrt{2}$，
解得：x=$\sqrt{2}$-2，
∴PN=$\sqrt{2}$-（$\sqrt{2}$-2）=2，
由OA=OB=2，可求∠A=45°，
∴∠MNP=∠A=45°，三角形PMN为等腰直角三角形，
设PM=x，由勾股定理可得：x²+x²=2²，
解得：x=$\sqrt{2}$，
∴PM=$\sqrt{2}$，
∴直线l与⊙P相切；
（3）如图2，

由（2）知圆P的圆心坐标为（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），又圆半径为$\sqrt{2}$，可知圆P与y轴相切，
过点P作射线OP，与圆P交于点H，G，过点H，G作x轴的垂线，垂足分别为：F，E，
由P（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），可知，OC=PC=$\sqrt{2}$，∠POC=45°，
∴PO=$\sqrt{O{C}^{2}+P{C}^{2}}$=2，
∴OH=2-$\sqrt{2}$，OG=2+$\sqrt{2}$，
∴$\frac{OF}{OH}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{OE}{OG}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OF=$\sqrt{2}$-1，OE=$\sqrt{2}$+1，
∵∠POC=45°，
∴HF=OF=$\sqrt{2}$-1，GE=OE=$\sqrt{2}$+1，
∴点H（$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$-1），点G（$\sqrt{2}$+1，$\sqrt{2}$+1），
把点H，和点G坐标分别代入：y=$\frac{k}{x}$，
解得：k=3-$2\sqrt{2}$，k=3+$2\sqrt{2}$，
所以：当反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象与⊙P有两个交点时，k的取值范围是：3-$2\sqrt{2}$＜k＜3+$2\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查圆的综合问题，会在坐标系中求直线解析式，并根据解析式求出相应角的大小，并结合勾股定理和三角函数求出线段长度用于表示点的坐标，熟悉圆的切线的证明方法是解题的关键．