Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，cosB=$\frac{3}{5}$，现作如下操作：将△ACB沿直线AC翻折，然后再放大得到△A′CB′，联结A′B，如果△AA′B是等腰三角形，那么B′C的长是$\frac{27}{4}$．

Answer 1

分析 △ACB沿直线AC翻折得到△ACD，如图，AA′=AB=5，在Rt△ACB中利用余弦定义计算出BC=3，利用勾股定理计算出AC=4，再利用翻折的性质得CD=CB=3，接着根据放大性质得到△ACD∽△A′CB′，利用相似比可求出CB′．

解答 解：△ACB沿直线AC翻折得到△ACD，如图，
∵△AA′B是等腰三角形，
∴AA′=AB=5，
在Rt△ACB中，∵cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∵AB=5，
∴BC=3，
∴AC=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵△ACB沿直线AC翻折得到△ACD，
∴CD=CB=3，
∵△ACD放大得到△A′CB′，
∴△ACD∽△A′CB′，
∴$\frac{AC}{CA′}$=$\frac{CD}{CB′}$，即$\frac{4}{4+5}$=$\frac{3}{B′C}$，
∴CB′=$\frac{27}{4}$．
故答案为$\frac{27}{4}$．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了相似三角形的判定与性质．