Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，AD是BC边上的高，以D为直角顶点的Rt△DEF绕点旋转，在旋转过程中，DE、EF分别与边AB、AC交于点M、N，则线段MN的最大值与最小值的差为$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 首先由勾股定理求出BC和CD，再利用三角形相似就可以求出结论，由条件把AM、AN用含x的式子表示出来，由勾股定理把MN表示出来，再根据取值范围得到线段MN的最大值与最小值，再相减解答即可．

解答 解：∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠DAC+∠C=90°
∴∠B+∠DAC=90°，
∴∠BDM+∠MDA=∠ADN+∠MDA=90°
∴∠BDM=∠ADN，
∴△BMD∽△AND，
∴$\frac{DM}{DN}$=$\frac{BD}{AD}$，
∵$\frac{BD}{AD}$=cotB=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
∴DM：DN=$\frac{3}{4}$，
∵△BMD∽△AND，
∴$\frac{BM}{AN}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{3}{4}$，
∴AN=$\frac{4}{3}$BM，
设BM为x，则AN=$\frac{4}{3}$x，AM=6-x，
∵∠BAC=90°，
∴MN²=（6-x）²+（$\frac{4}{3}$x）²=（$\frac{5}{3}$x-$\frac{18}{5}$）²+$\frac{576}{25}$，
∵AB=6，即0≤x≤6，
∴线段MN的最大值是$\sqrt{（\frac{5}{3}×6-\frac{18}{5}）^{2}+\frac{576}{25}}$=$\sqrt{64}$=8，最小值是$\sqrt{\frac{576}{25}}$=$\frac{24}{5}$，
8-$\frac{24}{5}$=$\frac{16}{5}$．
故线段MN的最大值与最小值的差为$\frac{16}{5}$．
 故答案为：$\frac{16}{5}$．

点评 此题考查旋转的性质，相似三角形的性质，关键是利用勾股定理得出BC和CD，再将AM、AN用含x的式子表示出来，利用二次函数的最值计算即可．