【题目】如图,已知∠PBC,在射线BC上任取一点D,以线段BD的中点O为圆心作⊙O,且⊙O与PB相切于点E.
(1)求作:射线BP上一点A,使△ABD为等腰三角形,且AB=AD.(要求:运用直尺和圆规,保留作图痕迹,不写作法)
(2)求证:AD是⊙O的切线.
(3)若BD的长为8cm,∠PBC=30°,求阴影部分的面积
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)-.
【解析】
(1)根据等腰三角形的性质,利用尺规作图作出图象即可;
(2)过点O作OF⊥AD,垂足为F,连接OE,根据△ABD为等腰三角形,点O是底边BD的中点,可得出AO是∠BAD的角平分线,可得OE=OF,即可得证;
(3)根据已知条件可推出∠EOB=60°,BE==,再根据S阴影=S△BOE-S扇形EOM即可得解.
(1)作图如下,
(2)证明:如图,过点O作OF⊥AD,垂足为F,连接OE,
∵⊙O与PB相切于点E,
∴OE⊥AB,
∵△ABD为等腰三角形,点O是底边BD的中点,
∴AO是∠BAD的角平分线,
∴OE=OF,即OF是⊙O的半径,
∴AC与⊙O相切;
(3)解:由(2)知,∠BEO=90°,
∵∠PBC=30°,
∴∠EOB=60°,
∵BD的长为8cm且点O是底边BD的中点,
∴OB=OD=BD=×8=4cm,
∴OE=OB=2cm,
在Rt△BOE中,根据勾股定理得BE==,
∴S阴影=S△BOE-S扇形EOM=××2-=-.
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【题目】借鉴我们已有的研究函数的经验,探索函数y=|x2﹣2x﹣3|﹣2图象和性质,探究过程如下,请补充完整.
(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:
x | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
y | … | 10 | m | ﹣2 | 1 | n | 1 | ﹣2 | 3 | 10 | … |
其中,m= ,n= ;
(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出函数图象;
(3)观察函数图象:
①当方程|x2﹣2x﹣3|=b+2有且仅有两个不相等的实数根时,根据函数图象直接写出b的取值范围为 .
②在该平面直角坐标系中画出直线y=x+2的图象,根据图象直接写出该直线与函数y=|x2﹣2x﹣3|﹣2的交点横坐标为: (结果保留一位小数).
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【题目】如图,已知直线y=﹣2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,与双曲线y=(x>0)交于C、D两点,且∠AOC=∠ADO,则k的值为_____.
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【题目】有两个黑布袋,布袋中有四个除标号外完全相同的小球,小球上分别标有数字布袋中有三个除标号外完全相同的小球,小球上分别标有数字小明先从布袋中随机取出一个小球,用表示取出的球上标有的数字,再从布袋中随机取出一个小球,用来表示取出的球上标有的数字.
(1)若用表示小明取球时与的对应值,请画出树状图,并写出的所有取值;
(2)求关于的一元二次方程有实数根的概率.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=10,点D是边BC上一动点(不与B,C重合),∠ADE=∠B=α,DE交AC于点E,且cosα=.下列结论:①△ADE∽△ACD;②当BD=6时,△ABD与△DCE全等;③△DCE为直角三角形时,BD为8;④0<CE≤6.4.其中正确的结论是________.(把你认为正确结论的序号都填上)
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【题目】在Rt△ACB和Rt△AEF中,∠ACB=∠AEF=90°,若点P是BF的中点,连接PC,PE.
(1) 如图1,若点E,F分别落在边AB,AC上,求证:PC=PE;
(2) 如图2,把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转,当点E落在边CA的延长线上时,探索PC与PE的数量关系,并说明理由.
(3) 如图3,把图2中的△AEF绕着点A顺时针旋转,点F落在边AB上.其他条件不变,问题(2)中的结论是否发生变化?如果不变,请加以证明;如果变化,请说明理由.
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【题目】如图,已知A、B两点的坐标分别为(―2,0),(0,1),⊙C的圆心坐标为(0,―1),半径为1.若D是⊙C上的一个动点,射线AD与y轴交于点E,则△ABE面积的最大值是( )
A. 4 B. C. D. 3
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