Question

14．如图1，两个全等的直角三角板△ABC和△A′B′C′，直角顶点重合，∠BAC=∠B′A′C′=30°，连结AA¹与BB¹
（1）判断AA′与BB′的位置及数量关系，直接写出结论．
（2）将△A′B′C′绕直角顶点C旋转，如图2，问（1）中的关系还成立吗？若成立请给出证明，若不成立请说明理由．
（3）连结AB′与BA′，问当△A′B′C′绕直角顶点C旋转时，（B′A）²+（A′B）² 的值是定值吗？说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意结合已知图形可以猜测：AA′⊥B′B且$\frac{AA′}{BB′}=\sqrt{3}$；
（2）如图，作辅助线；首先运用旋转变换的性质，结合三角形的内角和定理证明AA′⊥BB′；其次证明△CAA′∽△CBB′，得到$\frac{AA′}{BB′}=\frac{CA}{CB}$，运用相似三角形的性质求出$\frac{CA}{CB}=\sqrt{3}$，即可解决问题；
（3）运用（2）中的结论，结合勾股定理，即可解决问题．

解答 解：（1）AA′⊥B′B且$\frac{AA′}{BB′}=\sqrt{3}$；

（2）（1）中的结论仍成立，证明如下：如图，设BB′的延长线与AA′交于点D，设∠ACB′=α，由题意得：
∠BCB′=∠ACA′=90°+α，
∵BC=B′C，AC=A′C，
∴∠CBO=∠OAD=$\frac{180°-（90°+α）}{2}$
=45°-$\frac{1}{2}α$，
∵∠CBO+∠BOC=90°，而∠BOC=∠AOD，
∴∠OAD+∠AOD=90°，
∴OD⊥AA′，即AA′⊥BB′；
由题意知：∠ACA′=∠BCB′，
CA=CA′，CB=CB′，
∴$\frac{CA}{CB}=\frac{CA′}{CB′}$，
∴△CAA′∽△CBB′，
∴$\frac{AA′}{BB′}=\frac{CA}{CB}$，
在直角三角形ABC中，
∵∠BAC=30°，
∴$\frac{CA}{CB}=\sqrt{3}$，
∴$\frac{AA′}{BB′}=\sqrt{3}$，
即（1）中的结论仍成立；

（3）是定值；
由（2）知：OD⊥AA′；
∴B′A²+A′B²=B′D²+AD²+BD²+A′D²
=B′D²+A′D²+BD²+AD²
=AB²+（A′B′）²
=2 AB²，
∴B′A²+A′B²是定值．

点评 本题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题，牢固掌握旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点是解答此题的关键．