Question

已知关于x的方程x²-2（m+1）x+m²=0
（1）当m取何值时，方程有两个相等的实数根．
（2）设方程的两个根分别是x₁，x₂，且

x

2 1

+

x

2 2

=14，求m值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）方程有两个相等实数根，必须满足△=b²-4ac=0，从而建立关于m的不等式，求出实数m的值．
（2）利用根与系数的关系求得x₁+x₂=2（m+1），x₁x₂=m²，然后将其代入变形后的已知等式，列出关于m的方程，通过解方程可以求得m的值．

解答：解：（1）由题意知：△=b²-4ac=[-2（m+1）]²-4m²=[-2（m+1）+2m][-2（m+1）-2m]=-2（-4m-2）=8m+4=0，
解得m=-

1

2

．
∴当m=-

1

2

时，方程有两个相等的实数根．

（2）∵关于x的方程x²-2（m+1）x+m²=0的两个根分别是x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2（m+1），x₁x₂=m²，
∴

x

2 1

+

x

2 2

=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4（m+1）²-2m²=14，
整理，得
（m+2）²=9，
解得 m₁=1，m₂=-5．

点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．
一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．