Question

如图，四边形ABCD内接于大圆O，且各边与小圆相切于点E，F，G，H．求证：四边形ABCD是正方形．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：证明题

分析：连结OE、OF、OG、OH，利用切线的性质以及弦心距相等则弦相等可证明A、B、C、D是大圆O的四等分点，进而可证明四边形ABCD是正方形．

解答：证明：
连结OE、OF、OG、OH．
∵四边形ABCD与小圆分别切于点E、F、G、H，
∴OE=OF=OG=OH，OE⊥AB、OF⊥BC、OG⊥CD、OH⊥AD．
∴AB=BC=CD=DA．
∴A、B、C、D是大圆O的四等分点．
∴四边形ABCD是正方形．

点评：本题考查了正多边形与圆的关系，解题的关键是熟记把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．