Question

9．在△ABC中，∠C=∠ABC，AE∥BC，BE平分∠ABC，则下列结论中一定成立的是①②④（把所有正确结论的序号都填在横线上）．
①AE平分∠DAC      ②∠C=2∠E
③在△ABE中，AC平分∠BAE
④若AC⊥BE，则∠E=30°．

Answer 1

分析 求出∠CBA=2∠CBE=2∠EBA，∠CBE=∠EBA，根据平行线的性质求出∠CAE=∠C，∠EAD=∠CAB，求出AC=AB，∠CAE=∠EAD，根据平行线的性质得出∠E=∠CBE，求出∠C=∠CBA，∠CBA=2∠CBE，推出∠C=2∠E，∠E=∠EBA，但是不能推出AC平分∠EAB，证△CFB≌△AFB，推出BC=AB，得出△ABC是等边三角形，求出∠CBA=60°，根据以上结论逐个判断即可．

解答 解：如图，∵BE平分∠CBA，
∴∠CBA=2∠CBE=2∠EBA，∠CBE=∠EBA，
∵AE∥BC，
∴∠CAE=∠C，∠EAD=∠CAB，
∵∠C=∠ABC，
∴AC=AB，∠CAE=∠EAD，
∴AE平分∠CAD，∴①正确；
∵AE∥BC，
∴∠E=∠CBE，
∵∠C=∠CBA，∠CBA=2∠CBE，
∴∠C=2∠E，∴②正确；
能推出∠E=∠EBA，但是不能推出AC平分∠EAB，∴③错误；
∵AC⊥BE，
∴∠CFB=∠AFB=90°，
在△CFB和△AFB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFB=∠AFB}\\{BF=BF}\\{∠CBF=∠ABF}\end{array}\right.$
∴△CFB≌△AFB（ASA），
∴BC=AB，
∵AC=AB，
∴BC=AC=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CBA=60°，
∵BE平分∠CBA
∵∠E=∠CBE=∠EBA=30°，∴④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．