【题目】如图,点P是正方形ABCD对角线AC上一动点,点E在射线BC上,且PE=PB,连接PD,O为AC中点.
(1)如图1,当点P在线段AO上时,试猜想PE与PD的数量关系和位置关系,请说明理由;
(2)①如图2,当点P在线段OC上时,(1)中的猜想还成立吗?请说明理由;
②如图2,试用等式来表示PB,BC,CE之间的数量关系,并证明.
(3)如图3,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当时,连接DE,试探究线段PB与线段DE的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)PE=PD,PE⊥PD,证明详见解析;(2)①成立PE=PD,PE⊥PD,证明详见解析;②,证明详见解析;(3)PB=DE,证明详见解析.
【解析】
试题
(1)如图1,过点P分别作PM⊥BC于点M,PN⊥CD于点N,则由已知条件可得PM=PN,∠MPN=90°,由正方形关于对角线对称可得PB=PD,结合PB=PE可得PE=PD,从而可得△PME≌△PND,由此可得∠EPM=∠DPN,从而可证得∠DPE=90°,得到PD⊥PE;
(2)①如图2,过点P分别作PM⊥BC于点M,PN⊥CD于点N,同(1)可证得PD=PE,PD⊥PE仍然成立;
②如图2,连接DE,在Rt△DCE中,由勾股定理可得DC2+CE2=DE2,结合在等腰Rt△DPE中,DE2=2PE2及PE=PB,BC=DC即可得到BC2+CE2=2PB2;
(3)如图3,由已知条件易得∠DCE=∠ACD=∠ACB=60°,由菱形关于对角线对称可得PB=PE,∠OBC=∠PDC,结合PB=PE可得∠PEC=∠PBC=∠PDC及PE=PD,再结合∠PHD=∠CHE可得∠DPE=∠DCE=60°,从而可得△PDE是等边三角形,由此即可得到DE=PE=PB.
试题解析:
(1)PD=PE且PD⊥PE,理由如下:
如图1,过点P分别作PM⊥BC于点M,PN⊥CD于点N,
∴∠PME=∠PND=90°,
∵四边形ABCD是正方形,点P在AC上,
∴∠BCD=90°,PM=PN,PB=PD,
∴四边形PMCN是正方形,
∴∠MPN=90°,
∵PB=PE,
∴PE=PD,
∴Rt△PME≌Rt△PND,
∴∠DPN=∠EPM,
∴∠DPN+∠NPE=∠NPE+∠EPM=∠MPN=90°,
∴PD⊥PE,
∴PE与PE关系是:PD=PE且PD⊥PE;
(2)①如图2,过点P分别作PM⊥BC于点M,PN⊥CD于点N,和(1)同法可证得PD=PE,PD⊥PE仍然成立;
②如图2,连接DE,
由①可得PE=PD,PE⊥PD,
∴DE2=PD2+PE2=2PE2,
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=DC,∠BCD=∠DCE=90°,
∴在Rt△DCE中,DC2+CE2=DE2,
∴BC2+CE2=DE2=2PE2,
又∵PE=PB,
∴BC2+CE2=2PB2.
(3)如图3,∵四边形ABCD是菱形,且∠BAD=120°,
∴∠ACB=∠ACD=60°,
∴∠DCE=180°-60°-60°=60°,
∵点P在对称性AC上,
∴由菱形是关于对角线对称的轴对称图形可得:PD=PB,∠PDC=∠PBC,
∵PB=PE,
∴PD=PE,∠PBC=∠PEC,
∴∠PEC=∠PDC,
又∵∠PHD=∠CHE,
∴∠DPE=∠DCE=60°,
∴△PED是等边三角形,
∴DE=PE,
∴DE=PB.
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【题目】如图所示,我国两艘海监船 A,B 在南海海域巡逻,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船 C,此时,B 船在A 船的正南方向 15 海里处,A 船测得渔船 C 在其南偏东 45°方向,B 船测得渔船 C 在其南偏东 53°方向,已知 A 船的航速为 30 海里/小时,B 船的航速为 25 海里/小时,问 C 船至少要等待多长时间才能得到救援?(参考数据:sin53°≈,cos53°≈
,tan53°≈ 4 ,
1.41 )
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【题目】如图是放在地面上的一个长方体盒子,其中AB=18cm,BC=12cm,BF=10cm,点M在棱AB上,且AM=6cm,点N是FG的中点,一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N,它需要爬行的最短路程为____.
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【题目】4月23日为“世界读书日”,每年的这一天,世界100多个国家都会举办各种各样的庆祝和图书宣传活动.我县某书店借此机会决定开展“读书节”活动,为迎接“读书节”制定了活动计划.以下是活动计划书的部分信息:
“读书节”活动计划书 | ||
图书类別 | A类 | B类 |
进价(元/本) | 18 | 12 |
备注 | (1)用不超过16800元购进A、B两类图书共1000本: (2)A类图书不少于600本: |
(1)陈经理査看计划书时发现:A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍,若顾客同样用540元购买图书,能购买A类图书数量比B类图书的数量少10本,请求出A、B两类图书的标价;
(2)经市场调查后,陈经理发现它们高估了“读书节”对图书销售的影响:便调整了销售方案;A类图书每本按标价降低2元销售,B类图书价格不变,那么该书店应如何进货才能获得最大利润?
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【题目】如图,一个工人拿一个米长的梯子,底端
放在距离墙根
点
米处,另一端点
点靠墙.
(1)求这个梯子的顶端距离地面的高度;
(2)如图,如果梯子的顶部下滑米,那么梯子的底部向外滑多少米.
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【题目】《函数的图象与性质》拓展学习片段展示:
【问题】
如图①,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x-2)2-4经过原点O,与x轴的另一个交点为A,则a= ,点A的坐标为 .
【操作】
将图①中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,如图②.直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式: .
【探究】
在图②中,翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象,则新图象对应的函数y随x的增大而增大时,x的取值范围是 .
【应用】结合上面的操作与探究,继续思考:
如图③,若抛物线y=(x-h)2-4与x轴交于A,B两点(A在B左),将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折,同样,也得到了一个“W”形状的新图象.
(1)求A、B两点的坐标;(用含h的式子表示)
(2)当1<x<2时,若新图象的函数值y随x的增大而增大,求h的取值范围.
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【题目】为了解某市初中学生每天进行体育锻炼的时间,随机抽样调查了100名初中学生,根据调查结果得到如图所示的统计图表.
请根据图表信息解答下列问题:
(1)在统计表中,m=_______,n=____,并补全条形统计图;
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是_______;
(3)据了解该市大约有3万名初中学生,请估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人.
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