【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+与x轴分别交于点A(﹣1,0),B(3,0),点C是顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,线段DE是射线AC上的一条动线段(点D在点E的下方),且DE=2,点D从点A出发沿着射线AC的方向以每秒2个单位长度的速度运动,以DE为一边在AC上方作等腰Rt△DEF,其中∠EDF=90°,设运动时间为t秒.
①点D的坐标是 (用含t的代数式表示);
②当直线BC与△DEF有交点时,请求出t的取值范围;
(3)如图2,点P是△ABC内一动点,BP=,点M,N分别是AB,BC边上的两个动点,当△PMN的周长最小时,请直接写出四边形PNBM面积的最大值.
【答案】(1)y=﹣x2+x+;(2)①(t﹣1, t);②1≤t≤﹣;(3).
【解析】
(1)直接利用待定系数法,建立方程组求解即可得出结论;
(2)先判断出△ABC是等边三角形,
①利用三角函数表示出AQ,DQ,即可得出结论;
②先表示出点E,F的坐标,再求出直线BC的解析式,点E,F代入直线BC的解析式中,即可求出分界点,即可得出结论;
(3)先判断出△BEF是要为BP,顶角为120°的等腰三角形,进而求出△BEF的面积,再判断出四边形PNBM的面积最大,得出△BMN的面积最小,此时,BP⊥EF,即可得出结论.
(1)∵抛物线y=ax2+bx+与x轴分别交于点A(﹣1,0),B(3,0),
∴,
∴,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+;
(2)如图1,
由(1)知,抛物线的解析式为y=﹣x2+x+=﹣(x﹣1)2+2,
∴点C(1,2),
∵A(﹣1,0),
∵A(﹣1,0),B(3,0),
∴AB=4,AC==4,BC==4,
∴AB=AC=BC,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
①过点D作DQ⊥AB于Q,
由运动知,AD=2t,
∴AQ=t,
∴DQ=t,
∴D(t﹣1, t),
故答案为:(t﹣1, t);
②过点F作AB的垂线,交过点D平行于AB的直线于G,
∴∠FDG=60°,
∵∠ADF=90°,
∴∠FDG=30°,
∴FG=DF=DE=1,DG=,
∴F(t﹣1﹣1, t+1),E(t﹣1+1, t+),
即F(t﹣2, t+1),E(t, t+),
∵点B(3,0),C(1,2),
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,
当点E在直线BC上时,﹣t+3=t+,
∴t=1,
当点F在直线BC上时,﹣(t﹣2)+3=t+1,
∴t=﹣,
即当直线BC与△DEF有交点时,t的取值范围为1≤t≤﹣;
(3)如图2,
作点P关于AB的对称点F,作点P关于BC的对称点E,连接EF,交AB于M,交BC于N,连接PM,PN,
则△PMN的周长最小为PM+PN+MN=FM+EN+MN=EF,
由对称性知,BE=BF=BP=,∠EBN=∠PBN,∠FBM=∠PBM,
∴∠EBN=∠EBN+∠PBN+∠FBM+∠PBM=2(∠PBN+∠PBM)=2∠ABC=120°,
∴∠BFE=30°,
过点B作BH⊥EF于H,则EF=2FH,
在Rt△BHM中,BH=BF=,FH=,
∴EF=2FH=,
∴S△BEF=EFBH=,
∵S四边形PNBM=(S△BEF+S△PMN)=(+S△PMN),
要使四边形PNBM的面积最大,则△PMN的面积最大,即△BMN的的面积最小,
只有BP⊥EF时,△BMN的面积最小,此时,MN=2×=,PH=BP﹣BH=﹣=,
∴S△PMN最大=MNPH=,
即S四边形PNBM最大=(S△BEF+S△PMN)=(+)=,
∴当△PMN的周长最小时,四边形PNBM面积的最大值为.
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【题目】为了做好新冠肺炎疫情期间开学工作,我区某中学用药熏消毒法对教室进行消毒.已知一瓶药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例;药物释放完毕后,y与x成反比例,如图所示.根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)写出倾倒一瓶药物后,从药物释放开始,y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量不低于8毫克时,消毒有效,那么倾倒一瓶药物后,从药物释放开始,有效消毒时间是多少分钟?
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【题目】为了解某区初中学生对网络游戏的喜好和作业量多少情况,随机抽取了该区500名同学进行了调查,并将调查的情况进行了整理,如下表:
作业量多少 网络游戏的喜好 | 认为作业多 | 认为作业不多 | 合计 |
喜欢网络游戏 | 180 | 90 | 270 |
不喜欢网络游戏 | 80 | 150 | 230 |
根据抽样调查结果,估计该区12000名初中生“不喜欢网络游戏并认为作业不多”的人数是________.
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【题目】如图,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=6,OB=8,动点Q从点O出发,沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动,同时动点P从点A出发,沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动,设运动时间为t秒(0<t≤5),以P为圆心,PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D,连结CD、CQ.
⑴ 当点Q与点D重合时,求t的值;
⑵ 若△ACQ是等腰三角形,求t的值;
⑶ 若⊙P与线段QC只有一个公共点,求t的取值范围.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AE⊥BC交CB延长线于点E,CF∥AE交AD延长线于点F.
(1)求证:四边形AECF是矩形;
(2)连接OE,若AE=12,AD=13,则线段OE的长度是 .
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【题目】下图1是儿童写字支架示意图,由一面黑板,一面白板和一块固定支架的托盘组成,图2是它的一个左侧截面图,该支架是个轴对称图形,∠BAC是可以转动的角,B,C、D,E和F,G是支架腰上的三对对称点,是用来卡住托盘以固定支架的。已知AB=AC=60cm,BD=CE=DF=EG=10cm。
(1)当托盘固定在BC处时,∠BAC=32,求托盘BC的长;(精确到0.1)
(2)当托盘固定在DE处时,这是儿童看支架的最佳角度,求此时∠BAC的度数。
(参考数据:sin32=0.53,cos32=0.85,sin16=0.28
sin20=0.34,sin25=0.42。)
图1 图2
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+2(a<0)与x轴交于点A(﹣1,0)和点B(2,0),与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)如图1,连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点,连接OD、CD,OD交BC于点F,当S△COF:S△CDF=2:1时,求点D的坐标;
(3)如图2,点E的坐标为(0,﹣1),在抛物线上是否存在点P,使∠OBP=2∠OBE?若存在,请直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,点是半圆的半径上的动点,作于.点是半圆上位于左侧的点,连结交线段于,且.
(1) 求证:是⊙O的切线.
(2) 若⊙O的半径为,,设.
①求关于的函数关系式.
②当时,求的值.
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