Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C是顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，线段DE是射线AC上的一条动线段（点D在点E的下方），且DE＝2，点D从点A出发沿着射线AC的方向以每秒2个单位长度的速度运动，以DE为一边在AC上方作等腰Rt△DEF，其中∠EDF＝90°，设运动时间为t秒．

①点D的坐标是　 　（用含t的代数式表示）；

②当直线BC与△DEF有交点时，请求出t的取值范围；

（3）如图2，点P是△ABC内一动点，BP＝，点M，N分别是AB，BC边上的两个动点，当△PMN的周长最小时，请直接写出四边形PNBM面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+；（2）①（t﹣1， t）；②1≤t≤﹣；（3）．

【解析】

（1）直接利用待定系数法，建立方程组求解即可得出结论；

（2）先判断出△ABC是等边三角形，

①利用三角函数表示出AQ，DQ，即可得出结论；

②先表示出点E，F的坐标，再求出直线BC的解析式，点E，F代入直线BC的解析式中，即可求出分界点，即可得出结论；

（3）先判断出△BEF是要为BP，顶角为120°的等腰三角形，进而求出△BEF的面积，再判断出四边形PNBM的面积最大，得出△BMN的面积最小，此时，BP⊥EF，即可得出结论．

（1）∵抛物线y＝ax2+bx+与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+；

（2）如图1，

由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，

∴点C（1，2），

∵A（﹣1，0），

∵A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB＝4，AC＝＝4，BC＝＝4，

∴AB＝AC＝BC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝60°，

①过点D作DQ⊥AB于Q，

由运动知，AD＝2t，

∴AQ＝t，

∴DQ＝t，

∴D（t﹣1， t），

故答案为：（t﹣1， t）；

②过点F作AB的垂线，交过点D平行于AB的直线于G，

∴∠FDG＝60°，

∵∠ADF＝90°，

∴∠FDG＝30°，

∴FG＝DF＝DE＝1，DG＝，

∴F（t﹣1﹣1， t+1），E（t﹣1+1， t+），

即F（t﹣2， t+1），E（t， t+），

∵点B（3，0），C（1，2），

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，

当点E在直线BC上时，﹣t+3＝t+，

∴t＝1，

当点F在直线BC上时，﹣（t﹣2）+3＝t+1，

∴t＝﹣，

即当直线BC与△DEF有交点时，t的取值范围为1≤t≤﹣；

（3）如图2，

作点P关于AB的对称点F，作点P关于BC的对称点E，连接EF，交AB于M，交BC于N，连接PM，PN，

则△PMN的周长最小为PM+PN+MN＝FM+EN+MN＝EF，

由对称性知，BE＝BF＝BP＝，∠EBN＝∠PBN，∠FBM＝∠PBM，

∴∠EBN＝∠EBN+∠PBN+∠FBM+∠PBM＝2（∠PBN+∠PBM）＝2∠ABC＝120°，

∴∠BFE＝30°，

过点B作BH⊥EF于H，则EF＝2FH，

在Rt△BHM中，BH＝BF＝，FH＝，

∴EF＝2FH＝，

∴S△BEF＝EFBH＝，

∵S四边形PNBM＝（S△BEF+S△PMN）＝（+S△PMN），

要使四边形PNBM的面积最大，则△PMN的面积最大，即△BMN的的面积最小，

只有BP⊥EF时，△BMN的面积最小，此时，MN＝2×＝，PH＝BP﹣BH＝﹣＝，

∴S△PMN最大＝MNPH＝，

即S四边形PNBM最大＝（S△BEF+S△PMN）＝（+）＝，

∴当△PMN的周长最小时，四边形PNBM面积的最大值为．