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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线yax2+bx+x轴分别交于点A(﹣10),B30),点C是顶点.

1)求抛物线的解析式;

2)如图1,线段DE是射线AC上的一条动线段(点D在点E的下方),且DE2,点D从点A出发沿着射线AC的方向以每秒2个单位长度的速度运动,以DE为一边在AC上方作等腰RtDEF,其中∠EDF90°,设运动时间为t秒.

D的坐标是   (用含t的代数式表示);

当直线BC与△DEF有交点时,请求出t的取值范围;

3)如图2,点P是△ABC内一动点,BP,点MN分别是ABBC边上的两个动点,当△PMN的周长最小时,请直接写出四边形PNBM面积的最大值.

【答案】1y=﹣x2+x+;(2)①(t1 t);②1t;(3

【解析】

1)直接利用待定系数法,建立方程组求解即可得出结论;

2)先判断出△ABC是等边三角形,

利用三角函数表示出AQDQ,即可得出结论;

先表示出点EF的坐标,再求出直线BC的解析式,点EF代入直线BC的解析式中,即可求出分界点,即可得出结论;

3)先判断出△BEF是要为BP,顶角为120°的等腰三角形,进而求出△BEF的面积,再判断出四边形PNBM的面积最大,得出△BMN的面积最小,此时,BPEF,即可得出结论.

(1)∵抛物线yax2+bx+x轴分别交于点A(﹣10),B30),

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+

2)如图1

由(1)知,抛物线的解析式为y=﹣x2+x+=﹣x12+2

∴点C12),

A(﹣10),

A(﹣10),B30),

AB4AC4BC4

ABACBC

∴△ABC是等边三角形,

∴∠BAC60°,

过点DDQABQ

由运动知,AD2t

AQt

DQt

Dt1 t),

故答案为:(t1 t);

过点FAB的垂线,交过点D平行于AB的直线于G

∴∠FDG60°,

∵∠ADF90°,

∴∠FDG30°,

FGDFDE1DG

Ft11 t+1),Et1+1 t+),

Ft2 t+1),Et t+),

∵点B30),C12),

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3

当点E在直线BC上时,﹣t+3t+

t1

当点F在直线BC上时,﹣t2+3t+1

t

即当直线BC与△DEF有交点时,t的取值范围为1t

3)如图2

作点P关于AB的对称点F,作点P关于BC的对称点E,连接EF,交ABM,交BCN,连接PMPN

则△PMN的周长最小为PM+PN+MNFM+EN+MNEF

由对称性知,BEBFBP,∠EBN=∠PBN,∠FBM=∠PBM

∴∠EBN=∠EBN+PBN+FBM+PBM2(∠PBN+PBM)=2ABC120°,

∴∠BFE30°,

过点BBHEFH,则EF2FH

RtBHM中,BHBFFH

EF2FH

SBEFEFBH

S四边形PNBMSBEF+SPMN)=+SPMN),

要使四边形PNBM的面积最大,则△PMN的面积最大,即△BMN的的面积最小,

只有BPEF时,△BMN的面积最小,此时,MN2×PHBPBH

SPMN最大MNPH

S四边形PNBM最大SBEF+SPMN)=+)=

∴当△PMN的周长最小时,四边形PNBM面积的最大值为

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作业量多少

网络游戏的喜好

认为作业多

认为作业不多

合计

喜欢网络游戏

180

90

270

不喜欢网络游戏

80

150

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(2)当托盘固定在DE处时,这是儿童看支架的最佳角度,求此时BAC的度数。

(参考数据:sin32=0.53,cos32=0.85,sin16=0.28

sin20=0.34,sin25=0.42。)

1 2

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