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【题目】如图,的直径,点的延长线上,点上,且

(1)求证:的切线;

(2)已知,点的中点,,垂足为于点,求的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)EF=.

【解析】

(1)连接OC,由AB是直径,可得∠ACB=90°,再由OA=OC,可得∠CAO=∠ACO,证明△PBC△PCA,可得∠PCB=∠CAO,继而可得∠OCP=90°,由此即可得结论;

(2)连接OD,先求出PA=40,然后求出OA=15,由点的中点,则可得∠FOD=90°,由△PBC△PCA,可得,证明△AEF∽△ACB,可得,即AE=2EF,证明△DOF△AEF,可得,从而求出OF=,进而求出AF=,在Rt△AEF中,利用勾股定理求出EF长即可.

(1)连接OC

AB是直径,

∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°

OA=OC

∴∠CAO=∠ACO

∵∠P=P

△PBC△PCA

∠PCB=∠CAO

∴∠PCB+∠OCB=90°,即∠OCP=90°

∴PC是⊙O的切线;

(2)连接OD

PA=40

AB=PA-PC=30

∴OA=15

∵点的中点,AB是直径,

OD=OA=15DOAB,即∠FOD=90°

∵△PBC△PCA

∵∠AEF=∠ACB=90°,∠A=∠A

△AEF∽△ACB

,即AE=2EF

∠AEF=∠DOF=90°∠AFE=∠DFO

DOF△AEF

OF=OD=

AF=AO-OF=

Rt△AEF中,AF2=AE2+EF2

()2=(2EF)2+EF2

EF=.

练习册系列答案
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【题目】已知:如图,在等边△ABC中,AB6cmADBC于点D,动点F从点C出发,沿CB方向以1cm/s的速度向点D运动;同时,动点P也从点C出发,沿CA方向以3cm/s的速度向点A运动,过点PPEBC,与边AB交于点E,与AD交于点G,连结EDPF.设运动的时间为ts)(0t2).

1)当t为何值时,四边形EDFP为平行四边形?

2)设四边形EDFP面积为y,求yt之间的函数关系式;

3)连结PDEF,当t为何值时,PDEF

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【题目】某校为了解学生的安全意识情况,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,根据调查结果,把学生的安全意识分成淡薄”、“一般”、“较强”、“很强四个层次,并绘制成如下两幅尚不完整的统计图.

根据以上信息,解答下列问题:

(1)这次调查一共抽取了 名学生,其中安全意识为很强的学生占被调查学生总数的百分比是

(2)请将条形统计图补充完整;

(3)该校有1800名学生,现要对安全意识为淡薄”、“一般的学生强化安全教育,根据调查结果,估计全校需要强化安全教育的学生约有 名.

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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线yax2+bx+x轴分别交于点A(﹣10),B30),点C是顶点.

1)求抛物线的解析式;

2)如图1,线段DE是射线AC上的一条动线段(点D在点E的下方),且DE2,点D从点A出发沿着射线AC的方向以每秒2个单位长度的速度运动,以DE为一边在AC上方作等腰RtDEF,其中∠EDF90°,设运动时间为t秒.

D的坐标是   (用含t的代数式表示);

当直线BC与△DEF有交点时,请求出t的取值范围;

3)如图2,点P是△ABC内一动点,BP,点MN分别是ABBC边上的两个动点,当△PMN的周长最小时,请直接写出四边形PNBM面积的最大值.

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【题目】问题情境

在综合实践课上,同学们以正方形和直线的旋转为主题分组开展数学探究活动,已知正方形ABCD,直线PQ经过点A,并绕点A旋转,作点B关于直线PQ的对称点E,直线DE交直线PQ于点F,连结AEBE

操作发现

1)如图1,设∠PAB=25°则∠ADF=   °

2)“梦想小组”的同学们发现,∠BEF的度数是一个定值,这个值为   

3)“创新小组”的同学们发现,线段ABDFEF之间存在特殊的数量关系,请写出这一关系式,并说明理由:

拓展应用

4)如图2,当直线PQ在正方形ABCD的外部时,进取小组的同学们发现(3)的结论仍然成立,并提出新问题;若DF=3EF=4,直接写出正方形ABCD的边长.

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1)若∠G=29°,求∠ADC的度数;

2)若点FBC的中点,求证:AB=AD+CD

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A.②③④B.①③⑤C.②④⑤D.①③④

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1)求反比例函数和一次函数的解析式;

2)根据图象写出使一次函数的值>反比例函数的值的x的取值范围.

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同步练习册答案