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【题目】已知:如图,在等边△ABC中,AB6cmADBC于点D,动点F从点C出发,沿CB方向以1cm/s的速度向点D运动;同时,动点P也从点C出发,沿CA方向以3cm/s的速度向点A运动,过点PPEBC,与边AB交于点E,与AD交于点G,连结EDPF.设运动的时间为ts)(0t2).

1)当t为何值时,四边形EDFP为平行四边形?

2)设四边形EDFP面积为y,求yt之间的函数关系式;

3)连结PDEF,当t为何值时,PDEF

【答案】1s;(2y=﹣3t2+t;(3)当ts时,PDEF

【解析】

1)根据已知条件可推出△APE是等边三角形,由题意可得CP3tCFt,则AP63tPE63tDFDCCF3t,根据四边形EDFP为平行四边形,列出方程求解即可得出答案;

2)过点PPHBCH,根据现有条件得出PHt,再根据ySABCSAPESPCFSEDB即可得出解析式;

3)设PDEF于点O,过点EEHBCH,根据已知条件推出PGEGPE63t),同(2)得:EHtBHt,推出∠PDG=∠OFD,即tanPDGtanOFD,据此列式求解即可.

解:(1)∵等边△ABC中,AB6cmADBC

ACABBC6DCBDBC3,∠B=∠C60°,

PEBC

∴∠APE=∠AEP=∠B=∠C60°,

∴△APE是等边三角形,

APPE

由题意得:CP3tCFt,则AP63t

PE63tDFDCCF3t

∵四边形EDFP为平行四边形,

PEDF

63t3t

t

∴当ts时,四边形EDFP为平行四边形;

2)过点PPHBCH,如图1所示:

由勾股定理得:AD3

∵∠C60°,

sin60°=

PH×3tt

PEBCADBCPHBC

∴四边形PGDH是矩形,

PHDG

ySABCSAPESPCFSEDB

ADBCADPHPEPHCFPHBD

×3×6×(3t)×(63t)﹣×t×t×t×3

=﹣3t2+t

3)设PDEF于点O,过点EEHBCH,如图2所示:

则四边形EHDG是矩形,

EHDG

∵△APE是等边三角形,

PGEGPE63t),

同(2)得:EHtBHt

PDEF

∴∠FOD90°,

∴∠OFD+ODF90°,

∵∠ODF+PDG90°,

∴∠PDG=∠OFD

tanPDGtanOFD

2t2+11t120

解得:t1t2(不合题意舍去),

则当ts时,PDEF

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