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【题目】如图,矩形纸片ABCD中,AB=,BC=.某课题小组利用这张矩形纸片依次进行如下操作(每次折叠后均展开).

如图,第一次将纸片折叠,使点B与点D重合,折痕与BD交与点O1,设O1D的中点为D1

如图,第二次将纸片折叠,使点B与点D1重合,折痕与BD交与点O2,设O2D3的中点为D2

如图,第三次将纸片折叠,使点B与点D2重合,折痕与BD交与点O3,设O3D2的中点为D3

根据以上操作结果,回答下列问题:

(1)如图,MN是折痕,求证:DAM≌△DCN;

(2)分别求出线段BO1、BO2、BO3的长,并直接写出第n次折叠后BOn的长(用含n的式子表示);

(3)如图,第二次折叠时,折痕一定会经过点A吗?请通过计算判断.

【答案】(1)、证明过程见解析;(2)、BOn=;(3)、证明过程见解析

【解析】

试题分析:(1)、首先证明DM=DN,再根据AAS即可判断;(2)、根据题意求出BO1、BO2、BO3,寻找规律后即可解决问题;(3)、结论:第二次折叠时,折痕一定会经过点A.作AEBD垂足为E,求出BE的长,证明点E与点O2重合即可.

试题解析:(1)、如图中,

四边形MNDA是由四边形MNBA翻折得到,∴∠ABN=ADN=90°BNM=MND,四边形ABCD是矩形,

ADBC,ADC=90°∴∠BNM=DMN=DNM,DM=DN,∵∠ADN=ADC,∴∠ADM=NDC,

DAM和DCN中,∴△DMA′≌△DNC.

(2)、如图中,

四边形ABCD是矩形,∴∠C=90°,AB=CD=,BC=AD=BD===4,

BO1=O1D=BD=2=,BO2=BD1==,BO3=BD2==

BOn=

(3)、如图中,结论:第二次折叠时,折痕一定会经过点A.

理由:作AEBD垂足为E.

∵∠AEB=BAD=90°ABE=BAD,∴△ABE∽△DBA,==

BE=BO2=点E与点O2重合,第二次折叠时,折痕一定会经过点A.

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