Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）联结AM，求S△AOM；

（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2，抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F的左侧），如果△MBF与△AOM相似，求所有符合条件的抛物线C2的表达式．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）S△AOM＝；（3）y＝；y＝．

【解析】

（1）根据题意，可以写出点B和点A的坐标，从而可以得到该抛物线的表达式；

（2）根据（1）中的函数解析式，可以求得点M的坐标，从而可以求得直线AM的函数解析式，从而可以求得S△AOM；

（3）根据题意，利用分类讨论的方法和三角形相似的知识可以求得点F的坐标，从而可以求得抛物线C2的表达式．

（1）∵抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°，

∴点B（2，0），点A（﹣1，﹣），

∴，

得，

∴该抛物线的解析式为y＝；

（2）连接MO，AM，AM与y轴交于点D，

∵y＝＝，

∴点M的坐标为（1，），

设过点A（﹣1，﹣），M（1，）的直线解析式为y＝mx+n，

，得，

∴直线AM的函数解析式为y＝x﹣，

当x＝0时，y＝﹣，

∴点D的坐标为（0，﹣），

∴OD＝，

∴S△AOM＝S△AOD+S△MOD＝；

（3）当△AOM∽△FBM时，，

∵OA＝2，点O（0，0），点M（1，），点B（2，0），

∴OM＝，BM＝，

∴，

解得，BF＝2，

∴点F的坐标为（4，0），

设抛物线C2的函数解析式为：y＝+c，

∵点F（4，0）在抛物线C2上，

∴0＝+c，得c＝，

∴抛物线C2的函数解析式为：y＝+；

当△AOM∽△MBF时，

，

∵OA＝2，点O（0，0），点M（1，），点B（2，0），

∴OM＝，BM＝，

∴，

解得，BF＝，

∴点F的坐标为（，0），

设抛物线C2的函数解析式为：y＝+d，

∵点F（，0）在抛物线C2上，

∴0＝，得d＝，

∴抛物线C2的函数解析式为：y＝+．