Question

【题目】如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．

（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为　 　°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为　 　；

（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；

（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．

Answer 1

【答案】（1）45°，CD+DB＝AD；（2）线段AD，BD，CD的数量关系会变化，数量关系为BD﹣CD＝AD．证明见解析；（3）1+．

【解析】

（1）由∠BAC＝90°，且AB＝AC，可得∠ACB＝∠ABC＝45°，由∠BAC＝∠BDC＝90°，推出A、B、C、D四点共圆，所以∠ADB＝∠ACB＝45°；由题意知△EAB≌△DAC，所以BE＝CD，由AE＝AD，∠EAD＝90°，可知△ADE是等腰直角三角形，推出CD＋DB＝EB＋BD＝DE＝AD；

（2）如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°交直线l于点E．易证△EAB≌△DAC（SAS），则BE＝CD，由AE＝AD，∠EAD＝90°，所以△ADE是等腰直角三角形，则DE＝AD，由BDCD＝BDBE＝DE，推出BDCD＝AD；

（3）当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，△ABD的面积最大，据此即可求解．

解：（1）①如图，在图1中．

∵∠BAC＝90°，且AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC＝45°，

∵∠BAC＝∠BDC＝90°，

∴A、B、C、D四点共圆，

∴∠ADB＝∠ACB＝45°；

②由题意可知，∠EAD＝∠BAC＝90°，

∴∠EAB＝∠DAC，

又AE＝AD，AB＝AC，

∴△EAB≌△DAC（SAS），

∴BE＝CD，

∵AE＝AD，∠EAD＝90°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴DE＝=AD，

∵CD+DB＝EB+BD＝DE，

∴CD+DB＝AD；

故答案为45°；CD+DB＝AD；

（2）线段AD，BD，CD的数量关系会变化，数量关系为BD﹣CD＝A．

理由如下：

如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°交直线l于点E．

则∠DAE＝∠CAB＝90°，

∴∠DAC＝∠EAB，

又AD＝AE，AC＝AB，

∴△EAB≌△DAC（SAS），

∴BE＝CD，

∵AE＝AD，∠EAD＝90°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴DE＝=AD，

∵BD﹣CD＝BD﹣BE＝DE，

∴BD﹣CD＝AD；

（3）由（2）知，△CDA≌△BEA，

∴∠CDA＝∠AEB，

∵∠DEA＝45°，

∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°，

∴∠CDA＝∠AEB＝135°，

∴∠CDA+∠ABC＝135°+45°＝180°，

∴A、B、C、D四点共圆，

于是作A、B、C、D外接圆⊙O，如图3．

当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，△ABD的面积最大．

作DG⊥AB，则DG平分∠ADB，DB＝DA，在DA上截取一点H，使得CD＝DH＝1，

∵∠ADB＝∠ACB＝45°，

∴∠GDB＝22.5°，∠DBG＝67.5°，

∴∠DBC＝67.5°﹣45°＝22.5°，

∠HCB＝∠DHC﹣∠HBC＝45°﹣22.5°＝22.5°，

∴∠HCB＝∠HBC，

∴HB＝CH＝=，

∴AD＝BD＝DH+BH＝1+．