Question

【题目】在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣8，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．

（1）如图2，若α＝45°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式；

（2）如图3，若α为锐角，且tanα＝，当EA⊥x轴时，正方形对角线EG与OF相交于点M，求线段AM的长；

（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴正半轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，是否存在△OEP的两边之比为：1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】(1)直线EF的解析式为y＝x+8；(2)AM＝6；(3)满足条件的点P的坐标为(0，8)，(﹣8，24)，(﹣24，48)．

【解析】

(1)过点E作EH⊥OA于点H,进而求出点E的坐标,再根据勾股定理求出OF的值,然后利用待定系数法,即可求出直线EF的解析式

(2)作MN⊥AM交x轴于点N,此时△AEM≌△NOM,得到AE=ON=4,△AMN是等腰直角三角形,即可求出AM的长;

(3)根据点F落在y轴正半轴上,通过改变正方形的边长,画出直线AE与直线FG相交的点P,并判断△OEP的其中两边之比能否为2:1,当△OEP的其中两边之比为 :1时,再通过分类讨论确定出图形,根据图形性质,利用勾股定理、相似三角形、三角函数等知识求得点P的坐标

(1)∵OE＝OA＝8，α＝45°，

∴E(﹣4，4)，F(0，8)，

设直线EF的解析式为y＝kx+b，则有 ，

解得

∴直线EF的解析式为y＝x+8．

(2)如图3中，作MH⊥OA于H，MK⊥AE交AE的延长线于K．

在Rt△AEO中，tan∠AOE＝，OA＝8，

∴AE＝4，

∵四边形EOGF是正方形，

∴∠EMO＝90°，

∵∠EAO＝∠EMO＝90°，

∴E、A、O、M四点共圆，

∴∠EAM＝∠EOM＝45°，

∴∠MAK＝∠MAH＝45°，∵MK⊥AE，MH⊥OA，

∴MK＝MH，四边形KAOM是正方形，

∵EM＝OM，

∴△MKE≌△MHO，

∴EK＝OH，

∴AK+AH＝2AH＝AE+EK+OA﹣OH＝12，

∴AH＝6，

∴AM＝AH＝6．

(3)如图2中，设F(0，2a)，则E(﹣a，a)．

∵A(﹣8，0)，E(﹣a，a)，

∴直线AP的解析式为y＝，直线FG的解析式为y＝﹣x+2a，

由，

∴P()．

①当PO＝ OE时，∴PO2＝2OE2，

则有：＝4a2，

解得a＝4或﹣4(舍弃)或0(舍弃)，

此时P(0，8)．

②当PO＝PE时，则有：＝2[()2]，

解得：a＝4或12，

此时P(0，8)或(﹣24，48)，

③当PE＝EO时，[()2]＝4a2，

解得a＝8或0(舍弃)，

∴P(﹣8，24)

综上所述，满足条件的点P的坐标为(0，8)，(﹣8，24)，(﹣24，48)．