Question

【题目】阅读下面材料，完成（1）、（2）题．

数学课上，老师出示了这样一道题：中，，，交于点，点在的延长线上，且，平分交于点，垂足为，探究线段与的数量关系，并证明．

同学们经过思考后，交流了自己的想法：

小明：“通过观察和度量，发现与相等．”

小强：“通过观察和度量，发现图中还有其它相等线段．”

小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段与的数量关系．”

……

老师：“此题还有其它解法，同学们课后可以继续探究，互相交流．”

……

（1）求证：；

（2）探究线段与的数量关系（用含的代数式表示），并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2），理由见解析

【解析】

（1）先根据等腰三角形的性质得出，然后利用，和等量代换即可证明结论；

（2）过点作垂足为，过点作垂足为，先利用角平分线的定义和等腰三角形的定义及三角形内角和定理得出，则，再通过等量代换得出，则，进而有，然后证明，则有，再证明，得，则，从而可得出．

（1）证明：，

，

，，

．

．

（2），理由如下：

如图，过点作垂足为，过点作垂足为，

则．

，

．

设，则，

平分，

．

由（1），

．

．

．

．

，

，

，

，

，

，

．

在和中，

∵，，，

．

．

，，

．

，

．

，

．

，

．

，

．