Question

11．如图，已知在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P是AB上 （不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连结EF，M为EF的中点．
（1）请判断四边形PECF的形状，并说明理由；
（2）随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM的变化范围．

Answer 1

分析 （1）首先根据勾股定理的逆定理判断三角形ABC是直角三角形，然后根据三个角都是直角的四边形是矩形即可得解；
（2）CM的长度会改变．连接PC，证得四边形PECF是矩形，得到EF=PC，求出PC的范围，即可得到得到EF的范围，即可得到CM 的范围．

解答 （1）证明：在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，
∵AC²+BC²=3²+4²=5²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠ACB=∠CFP=90°，
∴四边形PECF是矩形；

（2）解：CM的长度会改变，
理由是：连接PC，
由（1）证得四边形PECF是矩形，
∴EF=PC
过点C作CD⊥AB，此时CD=PC且PC最小，
∴PC=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$=2.4，
∵点P是斜边AB上 （不与A、B重合），
∴PC＜BC=4，
∴PC的范围是2.4≤PC＜4，
即EF的范围是2.4≤EF＜4，
∵M为EF的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$EF，
∴CM的范围是1.2≤CM＜2．

点评 本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的判定和性质，动点问题，正确的作出辅助线是解题的关键．