Question

6．在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，若AG：AB=5：13，BC=4$\sqrt{13}$，求DE+DF的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，BF和CG可看成△ABC的高，根据S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BF=$\frac{1}{2}$AB•CG，AB=AC，即可解决问题；
（2）连接AD，如图2．由于DF⊥AC，DE⊥AB，CG⊥AB，因此DF、DE、CG可分别看成△ACD、△ABD、△ABC的高，再根据S_△ACD+S_△ABD=S_△ABC，AB=AC，即可解决问题；
（3）连接AD，如图3．，同（2）可得：DF+DE=CG．设AG=5x，根据条件可得AC=AB=13x，运用勾股定理可得GC=12x，然后在Rt△BGC中运用勾股定理即可求出x的值，从而解决问题．

解答 解：（1）猜想：BF=CG．
理由：如图1．
∵BF⊥AC，CG⊥AB，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BF=$\frac{1}{2}$AB•CG．
∵AB=AC，
∴BF=CG；

（2）猜想：DE+DF=CG．
理由：连接AD，如图2．
∵DF⊥AC，DE⊥AB，CG⊥AB，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•DF，S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•DE，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CG．
∵S_△ACD+S_△ABD=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$AC•DF+$\frac{1}{2}$AB•DE=$\frac{1}{2}$AB•CG．
∵AB=AC，
∴DF+DE=CG；

（3）连接AD，如图3．
同（2）可得：DF+DE=CG．
设AG=5x，
∵AG：AB=5：13，AB=AC，
∴AC=AB=13x．
∴∠G=90°，
∴GC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{G}^{2}}$=12x．
在Rt△BGC中，
∵BG=AB+AG=13x+5x=18x，GC=12x，BC=4$\sqrt{13}$，
∴（18x）²+（12x）²=（4$\sqrt{13}$）²，
解得：x=$\frac{2}{3}$，
∴DE+DF=CG=12x=8．

点评 本题通过平移一把三角尺，探究垂线段之间的关系，在解决问题的过程中，巧妙地运用面积法得到了垂线段之间的关系，面积法是探究垂线段之间关系的非常重要的方法，应熟练掌握．