Question

3．已知：△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC交AD于点F，若∠BAC=45°，CD=1，BD=$\frac{3}{2}$，求AD的长．

Answer 1

分析 由∠BAC=45°可以得到BE=AE，再根据已知条件可以证明△AFE≌△BCE，可以得到AF=BC=10，而∠FBD=∠DAC，又∠BDF=∠ADC=90°，由此可以证明△BDF∽△ADC，所以FD：DC=BD：AD，设FD长为x，则可建立关于x的方程，解方程即可求出FD，AD的长．

解答 解：AD与BE相交于F，如图：
∵∠BAC=45°
∴BE=AE，
∵∠C+∠EBC=90°，∠C+∠EAF=90°，
∴∠EAF=∠EBC，
在△AFE与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠EBC}\\{BE=AE}\\{∠FEA=∠CEB=90°}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△BCE（ASA）
∴AF=BC=BD+DC=$\frac{5}{2}$，∠FBD=∠DAC，
又∵∠BDF=∠ADC=90°
∴△BDF∽△ADC
∴FD：DC=BD：AD
设FD长为x，则x：1=$\frac{3}{2}$：（x+$\frac{5}{2}$），解得x=0.5，即FD=0.5
∴AD=AF+FD=2.5+0.5=3．
答：AD长为3

点评 本题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．