Question

【题目】如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心、DC为半径作 ，点E在AB上，且与A、B两点均不重合，点M在AD上，且ME=MD，过点E作EF⊥ME，交BC于点F，连接DE、MF．

（1）求证：EF是 所在⊙D的切线；
（2）当MA= 时，求MF的长；
（3）试探究：△MFE能否是等腰直角三角形？若是，请直接写出MF的长度；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：过点D作DG⊥EF于G，

∵ME=MD，

∴∠MDE=∠MED，

∵EF⊥ME，

∴∠DEM+∠GED=90°，

∵∠DAB=90°，

∴∠MDE+∠AED=90°，

∴∠AED=∠GED，

∵在△ADE和△GDE中，

，

∴△ADE≌△GDE（AAS），

∴AD=GD，

∵ 的半径为DC，即AD的长度，

∴EF是 所在⊙D的切线；

（2）

MA= 时，ME=MD=2﹣ = ，

在Rt△AME中，AE= = =1，

∴BE=AB﹣AE=2﹣1=1，

∵EF⊥ME，

∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，

∵∠B=90°，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

又∵∠DAB=∠B=90°，

∴△AME∽△BEF，

∴ ，

即 ，

解得EF= ，

在Rt△MEF中，MF= ；

（3）

假设△MFE能是等腰直角三角形，

则ME=EF，

∵在△AME和△BEF中，

，

∴△AME≌△BEF（AAS），

∴MA=BE，

设AM=BE=x，

则MD=AD﹣MA=2﹣x，AE=AB﹣BE=2﹣x，

∵ME=MD，

∴ME=2﹣x，

∴ME=AE，

∵ME、AE分别是Rt△AME的斜边与直角边，

∴ME≠AE，

∴假设不成立，

故△MFE不能是等腰直角三角形．

【解析】（1）过点D作DG⊥EF于G，根据等边对等角可得∠MDE=∠MED，然后根据等角的余角相等求出∠AED=∠GED，再利用“角角边”证明△ADE和△GDE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=GD，再根据切线的定义即可得证；（2）求出ME=MD= ，然后利用勾股定理列式求出AE，再求出BE，根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后求出△AME和△BEF相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF，再利用勾股定理列式计算即可得解；（3）假设△MFE能是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得ME=EF，先利用“角角边”证明△AME和△BEF全等，根据全等三角形对边角相等可得AM=BE，设AM=BE=x，然后表示出MD，AE，再根据ME=MD，从而得到ME=AE，根据直角三角形斜边大于直角边可知△MEF不可能是等腰直角三角形．