【题目】点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点,已知AB=1,∠ADC=120°, 点M,N分别是AB,BC边上的中点,则△MPN的周长最小值是______.
【答案】.
【解析】
先作点M关于AC的对称点M′,连接M′N交AC于P,此时MP+NP有最小值.然后证明四边形ABNM′为平行四边形,即可求出MP+NP=M′N=AB=1,再求出MN的长即可求出答案.
如图,作点M关于AC的对称点M′,连接M′N交AC于P,此时MP+NP有最小值,最小值为M′N的长.
∵菱形ABCD关于AC对称,M是AB边上的中点,
∴M′是AD的中点,
又∵N是BC边上的中点,
∴AM′∥BN,AM′=BN,
∴四边形ABNM′是平行四边形,
∴M′N=AB=1,
∴MP+NP=M′N=1,即MP+NP的最小值为1,
连结MN,过点B作BE⊥MN,垂足为点E,
∴ME=MN,
在Rt△MBE中,,BM=
∴ME=,
∴MN=
∴△MPN的周长最小值是+1.
故答案为:+1.
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【题目】某商店购进甲、乙两种商品,已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵10元,用350元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同.
(1)求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元?
(2)计划购买这两种商品共50件,且投入的经费不超过3200元,那么,最多可购买多少件甲种商品?
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【题目】某数学兴趣小组对函数y=x+的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.
x | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | - | - | 1 | 2 | 3 | … | ||
y | … | - | m | ﹣2 | - | - | 2 |
| … |
(1)自变量x的取值范围是 ,m= .
(2)根据(1)中表内的数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,画出函数图象的一部分,请你画出该函数图象的另一部分.
(3)请你根据函数图象,写出两条该函数的性质;
(4)进一步探究该函数的图象发现:
①方程x+=3有 个实数根;
②若关于x的方程x+=t有2个实数根,则t的取值范围是 .
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【题目】阅读下列材料并解决有关问题:我们知道|x|=,现在我们可以用这个结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时,可令x+1=0和x﹣2=0,分别求得x=﹣1,x=2(称﹣1,2分别叫做|x+1|与|x﹣2|的零点值.)在有理数范围内,零点值x=﹣1和x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:
(1)当x<﹣1时,原式=﹣(x+1)﹣(x﹣2)=﹣2x+1;
(2)当﹣1≤x≤2时,原式=x+1﹣(x﹣2)=3;
(3)当x>2时,原式=x+1+x﹣2=2x﹣1.
综上所述,原式=.
通过以上阅读,请你解决以下问题:
(1)分别求出|x+2|和|x﹣4|的零点值;
(2)化简代数式|x+2|+|x﹣4|;
(3)求方程:|x+2|+|x﹣4|=6的整数解;
(4)|x+2|+|x﹣4|是否有最小值?如果有,请直接写出最小值;如果没有,请说明理由.
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【题目】甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品,春节期间两家商场都让利酬宾,其中甲商场所有商品按8折出售,乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折.
(1)以x(单位:元)表示商品原价,y(单位:元)表示购物金额,分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式;
(2)在同一直角坐标系中画出(1)中函数的图象;
(3)春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱?
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【题目】为方便市民出行,减轻城市中心交通压力,贵阳市地铁1号线于2018年12月1号正式全线开通.地铁开通后,李明爸爸妈妈的出行方式将由乘公交车改为乘坐地铁,爸爸从国际生态会议中心站出发至喷水池站,每天所需的时间将比以往节省70%;妈妈从国际生态会议中心站出发至珠江路站,每天所需的时间将比以往节省55%,这样两人所需的时间共节省60%,现在两人乘地铁所需的时间之和为1.2小时.请问李明爸爸妈妈原来乘公交车上班时每天所需时间各为多少小时?
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线与坐标轴交于A,B两点,以AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC,点C为直角顶点,连接OC.
(1)直接写出= ;
(2)请你过点C作CE⊥y轴于E点,试探究OB+OA与CE的数量关系,并证明你的结论;
(3)若点M为AB的中点,点N为OC的中点,求MN的值;
(4)如图2,将线段AB绕点B沿顺时针方向旋转至BD,且OD⊥AD,延长DO交直线于点P,求点P的坐标.
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【题目】已知A=x-2y,B=-x-4y+1.
(1)求2(A+B)-(A-B);(结果用含x,y的代数式表示)
(2)当与互为相反数时,求(1)中代数式的值.
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