Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=2x+b的图象与x轴相交于点B，与反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象相交于点A（1，4）．
（1）求k、b的值；
（2）如图1，以AB为直径作圆，点C是圆在第二象限内一点，若∠ABC=45°，求出点C的坐标；
（3）将直线AB绕点A旋转，在旋转过程中，与x轴交于点N，与y轴交于点M，与反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象交于点D．
①如图2，若点D位于点A的下方，过点D作x轴的平行线与线段AB交于点E，当△BDE的面积最大时，请求出点D的坐标；
②在x轴上是否存在点N，使OA²=AM•AN？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）用待定系数法即可求出k、b的值．
（2）连接AC，过点C作CQ⊥OB于点Q，过点A作AP⊥CQ交QC的延长线于点P，如图1．易证△APC≌△CQB，则有AP=CQ，PC=QB．设QB=a，可以用a的代数式表示PQ，根据PQ=4即可求出a的值，就可求出点C的坐标．
（3）①如图2，设点D的纵坐标为t，从而可用t的代数式表示出点E、点D的横坐标，进而表示出DE及S_△BDE，然后运用配方法就可解决问题；
②过点A作AH⊥x轴于点H，过点A作AG⊥y轴于点G，如图3，设过点A（1，4）的直线的解析式为y=kx+b，则有b=4-k，从而得到点M、点N的坐标，然后分别在Rt△AHO、Rt△AGM、Rt△AHN中，运用勾股定理表示出OA²、AM²、AN²，从而由OA²=AM•AN就可得到关于k的方程，求出k的值后，就可得到点N的坐标．

解答：解：（1）∵点A（1，4）是直线y=2x+b与反比例函数y=

k

x

图象的一个交点，
∴2+b=4，k=1×4=4，
∴b=2，k=4．

（2）连接AC，过点C作CQ⊥OB于点Q，过点A作AP⊥CQ交QC的延长线于点P，如图1．
则有∠P=∠BQC=90°．
∵AB为直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ACP=90°-∠QCB=∠CBQ．
∵∠ABC=45°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，∴AC=BC．
在△APC和△CQB中，

∠P=∠BQC ∠ACP=∠CBQ AC=CB

，
∴△APC≌△CQB（AAS），
∴AP=CQ，PC=QB．
∵点B是直线y=2x+2与x轴的交点，
∴点B的坐标为（-1，0），
∴OB=1．
设QB=a，则有PC=a，OQ=a+1，
∵点A的坐标为（1，4），
∴CQ=AP=1+a+1=a+2，PQ=4，
∴PQ=PC+CQ=a+a+2=2a+2=4，
解得a=1，
∴OQ=a+1=2，CQ=a+2=3，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为（-2，3）．

（3）①如图2，设点D的纵坐标为t．
∵DE∥x轴，∴点E的纵坐标为t．
∵点D在反比例函数y=

4

x

的图象上，∴x_D=

4

t

．
∵点E在直线y=2x+2上，∴x_E=

t-2

2

．
∵点D位于点A的下方，
∴DE=x_D-x_E=

4

t

-

t-2

2

=

4

t

-

t

2

+1，
∴S_△BDE=

1

2

×（

4

t

-

t

2

+1）×t
=

1

2

×（4-

1

2

t²+t）
=2-

1

4

t²+

1

2

t
=-

1

4

（t²-2t+1-1）+2
=-

1

4

（t-1）²+

1

4

+2
=-

1

4

（t-1）²+

9

4

，
∵-

1

4

＜0，∴当t=1时，△BDE的面积取最大值，此时点D的坐标为（4，1）．
②过点A作AH⊥x轴于点H，过点A作AG⊥y轴于点G，如图3，
则有∠AGM=∠AHO=∠AHN=90°．
设过点A（1，4）的直线的解析式为y=kx+b，
则有k+b=4，即b=4-k，∴y=kx+4-k．
∵直线y=kx+4-k与x轴交于点N，与y轴交于点M，
∴点M的坐标为（0，4-k），点N的坐标为（

k-4

k

，0），
在Rt△AHO中，OA²=OH²+AH²=1+16=17．
在Rt△AGM中，AM²=AG²+GM²=1²+（4-k-4）²=1+k²．
在Rt△AHN中，AN²=AH²+HN²=4²+（

k-4

k

-1）²=16+

16

k2

．
若OA²=AM•AN，则OA⁴=AM²•AN²，
∴17²=（1+k²）（16+

16

k2

）
=16（1+k²）•

k2+1

k2

=16（

k2+1

k

）²，
∴（

k2+1

k

）²=

172

16

，
∴

k2+1

k

=

17

4

或

k2+1

k

=-

17

4

，
整理得：4k²-17k+4=0或4k²+17k+4=0，
解得：k₁=

1

4

，k₂=4，k₃=-

1

4

，k₄=-4．
∴点N的坐标为（-15，0），（0，0），（17，0），（2，0）．

点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、一次函数及反比例函数的坐标特征、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，而构造全等三角形是解决第（2）小题的关键，运用配方法是解决第（3）①小题的关键，运用勾股定理则是解决第（3）②小题的关键．