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【题目】如图,在RtABC中,ACB=90°,AC=2cm,AB=4cm,动点P从点C出发,在BC边上以每秒cm的速度向点B匀速运动,同时动点Q也从点C出发,沿C→A→B以每秒4cm的速度匀速运动,运动时间为t秒,连接PQ,以PQ为直径作⊙O.

(1)当时,求PCQ的面积;

(2)设O的面积为s,求s与t的函数关系式;

(3)当点Q在AB上运动时,O与RtABC的一边相切,求t的值.

【答案】(1);(2)①;②(3)t的值为或1或

【解析】

(1)先根据t的值计算CQCP的长,由图形可知△PCQ是直角三角形,根据三角形面积公式可得结论;

(2)分两种情况:①当Q在边AC上运动时,②当Q在边AB上运动时;分别根据勾股定理计算PQ2,最后利用圆的面积公式可得St的关系式;

(3)分别当⊙OBC相切时、当⊙OAB相切时,当⊙OAC相切时三种情况分类讨论即可确定答案.

1)当t=时,CQ=4t=4×=2,即此时QA重合,

CP=t=

∵∠ACB=90°,

SPCQ=CQPC=×2×=

(2)分两种情况:

①当Q在边AC上运动时,0<t≤2,如图1,

由题意得:CQ=4t,CP=t,

由勾股定理得:PQ2=CQ2+PC2=(4t)2+(t)2=19t2

S=π=

②当Q在边AB上运动时,2<t<4如图2,

设⊙OAB的另一个交点为D,连接PD,

CP=t,AC+AQ=4t,

PB=BC﹣PC=2t,BQ=2+4﹣4t=6﹣4t,

PQ为⊙O的直径,

∴∠PDQ=90°,

RtACB中,AC=2cm,AB=4cm,

∴∠B=30°,

RtPDB中,PD=PB=

BD=

QD=BQ﹣BD=6﹣4t﹣=3﹣

PQ==

S=π==

(3)分三种情况:

①当⊙OAC相切时,如图3,设切点为E,连接OE,过QQFACF,

OEAC,

AQ=4t﹣2,

RtAFQ中,∠AQF=30°,

AF=2t﹣1,

FQ=(2t﹣1),

FQOEPC,OQ=OP,

EF=CE,

FQ+PC=2OE=PQ,

(2t﹣1)+t=

解得:t=或﹣(舍);

②当⊙OBC相切时,如图4,

此时PQBC,

BQ=6﹣4t,PB=2t,

cos30°=

t=1;

③当⊙OBA相切时,如图5,

此时PQBA,

BQ=6﹣4t,PB=2t,

cos30°=

t=

综上所述,t的值为1

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测试序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

成绩(分)

7

6

8

7

6

8

6

8

1)填空:____________

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